10高等数学课件详细.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、问题的提出,1.,计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、级数的概念,1.,级数的定义,:,(,常数项,),无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2.,级数的收敛与发散,:,余项,无穷级数收敛性举例：,Koch,雪花,.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对,称的产生边长为原边长的,1/3,的小正三角形如此,类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到,了面积有限而周长无限的图形,“Koch,雪花”,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,周长为,面积为,第,次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,三、基本性质,结论,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,.,结论,:,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,.,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,.,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,收敛,发散,四、收敛的必要条件,证明,级数收敛的必要条件,:,注意,1.,如果级数的一般项不趋于零,则级数发散,;,发散,2.,必要条件不充分,.,讨论,8,项,4,项,2,项,2,项,项,由性质,4,推论,调和级数发散,.,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,思考题,思考题解答,能,由柯西审敛原理即知,练习题,练习题答案,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,一、正项级数及其审敛法,1.,定义,:,这种级数称为正项级数,.,2.,正项级数收敛的充要条件,:,定理,部分和数列 为单调增加数列,.,证明,即部分和数列有界,3.,比较审敛法,不是有界数列,定理证毕,.,比较审敛法的不便,:,须有参考级数,.解,由图可知,重要参考级数,:,几何级数,P-,级数,调和级数,.,证明,4.,比较审敛法的极限形式,:,设,=,1,n,n,u,与,=,1,n,n,v,都是正项级数,如果,则,(1),当,时,二级数有相同的敛散性,;,(2),当,时，若,收敛,则,收敛,;,(3),当,时,若,=,1,n,n,v,发散,则,=,1,n,n,u,发散,;,证明,由比较审敛法的推论,得证,.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,收敛,发散,比值审敛法的优点,:,不必找参考级数,.,两点注意,:,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,级数收敛.,二、交错级数及其审敛法,定义,:,正、负项相间的级数称为交错级数,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕,.,解,原级数收敛.,三、绝对收敛与条件收敛,定义,:,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,.,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,四、小结,正 项 级 数,任意项级数,审,敛,法,1.,2.,4.,充要条件,5.,比较法,6.,比值法,7.,根值法,4.,绝对收敛,5.,交错级数,(,莱布尼茨定理,),3.,按基本性质,;,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛,.,反之不成立,.,例如：,收敛,发散,.,练 习 题,练习题答案,一、函数项级数的一般概念,1.,定义,:,2.,收敛点与收敛域,:,函数项级数的部分和,余项,(,x,在收敛域上,),注意,函数项级数在某点,x,的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题,.,3.,和函数,:,(,定义域是,?),解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛,.,原级数发散,.,收敛,;,发散,;,二、幂级数及其收敛性,1.,定义,:,2.,收敛性,:,证明,由,(1),结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义,:,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,幂级数的收敛域称为幂级数的,收敛区间,.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径,?,证明,由比值审敛法,定理证毕,.,例,2,求下列幂级数的收敛区间,:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛区间为,(0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,三、幂级数的运算,1.,代数运算性质,:,(1),加减法,(其中,(2),乘法,(其中,柯西乘积,(3),除法,(,相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多,),2.,和函数的分析运算性质,:,(,收敛半径不变,),(,收敛半径不变,),解,两边积分得,解,收敛区间,(-1,1),常用已知和函数的幂级数,四、小结,2.,幂级数的收敛性,:,收敛半径,R,3.,幂级数的运算,:,分析运算性质,1.,函数项级数的概念,:,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定,.,例,它们的收敛半径都是,1,但它们的收敛域各是,练 习 题,练习题答案,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以,f(x),为和函数,问题,:,1.,如果能展开,是什么,?,2.,展开式是否唯一,?,3.,在什么条件下才能展开成幂级数,?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于,f(x),?,不一定,.,可见,在,x=,0,点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.,直接法,(,泰勒级数法,),步骤,:,例,1,解,由于,M,的任意性,即得,例,2,解,例,3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意,:,双阶乘,2.,间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过,变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,等方法,求展开式,.,例如,例,4,解,三、小结,1.,如何求函数的泰勒级数,;,2.,泰勒级数收敛于函数的条件,;,3.,函数展开成泰勒级数的方法,.,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,思考题解答,从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之,.,练 习 题,练习题答案,一、近似计算,两类问题,:,1.,给定项数,求近似值并估计精度,;,2.,给出精度,确定项数,.,关健,:,通过估计余项,确定精度或项数,.,常用方法,:,1.,若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决,;,2.,若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和,.,例1,解,余和,:,例2,解,其误差不超过,.,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、求数项级数的和,1.,利用级数和的定义求和,:,(1),直接法,;,(2),拆项法,;,(3),递推法,.,例4,解,2.,阿贝尔法,(,构造幂级数法,):,(,逐项积分、逐项求导,),例4,解,例5,解,四、欧拉公式,复数项级数,:,复数项级数绝对收敛的概念,三个基本展开式,揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系,.,欧拉公式,五、小结,、近似计算,求不可积类函数的定积分，,、微分方程的幂级数的解法,(,第十二节介绍,),求数项级数的和，欧拉公式的证明；,思考题,利用幂级数展开式,求极限,思考题解答,将上两式代入,原式,=,练 习 题,练习题答案,一、问题的提出,问题,:,解,得和函数：,因为该级数每一项都在,0,1,是连续的，,例,1,考察函数项级数,和函数的连续性,结论,问题,二、函数项级数的一致收敛性,定义,x,y,o,几何解释,:,例,2,解,余项的绝对值,例,3,研究例,1,中的级数,在区间,(0,1,内的一致收敛性,.解,对于任意一个自然数,因此级数在,(0,1),内不一致连续,说明,:,从下图可以看出,:,但,虽然函数序列,在,(0,1),内处处,在,(0,1),内各点处收,收敛于,敛于零的“快慢”程度是不一致的,(1,1),1,小结,一致收敛性与所讨论的区间有关,定理（魏尔斯特拉斯,(,Weierstrass,),判别法）,一致收敛性简便的判别法：,证,例4,证明级数,证,三、一致收敛级数的基本性质,定理,1,证,(1),(2),同样有,(3),由,(1),、,(2),、,(3),可见,定理,2,(4),证,根据极限定义，有,即,定理,3,(5),注意,:,级数一致收敛并不能保证可以逐项求导,.,例如级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,定理,4,幂级数的一致收敛性,定理,5,证,于是,四、小结,1,、函数项级数一致收敛的定义；,2,、一致收敛级数的判别法,魏尔斯特拉斯判别法；,4,、幂级数的一致收敛性,3,、一致收敛级数的基本性质；,练 习 题,练习题答案,第十章习题课,常数项级数,函数项级数,一,般,项,级,数,正,项,级,数,幂级数,三角级数,收,敛,半,径,R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任,意,项,级,数,泰勒级数,在收敛 级数与数,条件下 相互转化,一、主要内容,1,、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,性质,1,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,.,性质,2,:,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,.,性质,3,:,在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,.,性质,4,:,收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和,.,级数收敛的必要条件,:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法,正 项 级 数,任意项级数,1.,2.,4.,充要条件,5.,比较法,6.,比值法,7.,根值法,4.,绝对收敛,5.,交错级数,(,莱布尼茨定理,),3.,按基本性质,;,一般项级数,4.,绝对收敛,定义,2,、正项级数及其审敛法,审敛法,(1),比较审敛法,(2),比较审敛法的极限形式,定义,正、负项相间的级数称为交错级数,.,3,、交错级数及其审敛法,定义,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,.,4,、任意项级数及其审敛法,5,、函数项级数,(1),定义,(2),收敛点与收敛域,(3),和函数,(1),定义,6,、幂级数,(2),收敛性,推论,定义,:,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,幂级数的收敛域称为幂级数的,收敛区间,.,a.,代数运算性质,:,加减法,(其中,(3),幂级数的运算,乘法,(其中,除法,b.,和函数的分析运算性质,:,7,、幂级数展开式,(1),定义,(2),充要条件,(3),唯一性,(3),展开方法,a.,直接法,(,泰勒级数法,),步骤,:,b.,间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过,变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,等方法,求展开式,.,(4),常见函数展开式,(5),应用,a.,近似计算,b.,欧拉公式,二、典型例题,例1,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数收敛,解,根据比较判别法，,原级数收敛,解,从而有,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,例,解,即原级数非绝对收敛,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,例,解,两边逐项积分,例4,解,例5,解,测 验 题,测验题答案,