1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,不定积分,1,例,第一节 不定积分的概念,(一),原函数与不定积分的概念,定义,不定积分又称,反导数,，它是求导运算的逆运算。,本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。,2,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数。,问题：,(1)原函数是否存在？,(2)是否唯一？,因此初等函数在其定义域内都有原函数,。,(但原函数不一定是初等函数),3,唯一性？,说明：,4,积分变量,(二)不定积分的概念,积分常数,积分号,被积函数,记为,定义,5,例1,求,解,解,例2,求,6,例3,求,解,7,解,例3,求
2、合写成,8,(三)不定积分的几何意义,设,F,(,x,),是,f,(,x,),的一个原函数，则方程,y,=,F,(,x,),的图形是直角坐标系,Oxy,中的一条曲线，称为,f,(,x,),的一条,积分曲线,.,将这条曲线沿,y,轴向上或向下移动长度为,|,C,|,的距离，就可以得到,f,(,x,),的无穷,多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为,f,(,x,),的,积分曲线族,，其方程为,或,9,它们的特点是：,在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线有相同的斜率，都是,f,(,x,),，,即各切线平行。,10,解,例4,设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此
3、曲线方程.,设曲线方程为,根据题意知,(1,2),11,第二节 不定积分的性质,或,性质1,求不定积分与求导或微分互为逆运算：,或,性质2,其中,a,为非零常数。,证,由定义可知，,12,此性质可推广到有限多个函数之和差的情形。,性质3,证,综合性质2和性质3，可得,13,第三节 基本积分公式,(,k,是常数),14,15,直接积分法分项积分法,例,例,例,16,例,17,例,18,例,19,例,例,例,20,三角恒等变形,例,例,21,例,例,例,22,训练：,求下列不定积分,23,问题,第四节 换元积分法,(一)第一类换元积分法(凑微分法),24,一般地，凑微分法步骤如下：,25,常用凑微
4、分公式：,等等.,26,例,例,例,27,练习,28,例,例,例,29,例,例,30,例,另外：,31,例,类似地，,或,32,例,33,类似地，,例,34,基本积分公式,35,例,解法1,解法2,例,36,例,37,例,38,例,39,例,40,或解,例,41,例,例,42,例,积化和差,43,训练：,求下列不定积分,44,(三)第二类换元积分法,回代,得,45,称为,第二换元积分法,注意,：不要忘了回代。,回代,46,例,解,47,解,例,48,解,令,例,49,训练：,解,50,例,解,失败！,51,例,解,52,例,解,53,例,解,54,基本积分公式,比较：,55,说明,：,以上几例
5、所使用的均为,三角代换,目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时可灵活采用别的方法.,56,训练：,求下列不定积分,57,例,解,58,例,解,59,凑微分,分部积分公式,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,第五节 分部积分法,分部积分的过程：,60,例,积分更难进行.,61,例,62,例,63,例,64,训练：,65,训练：,求下列不定积分,66,例,分部积分法可多次使用：,67,训练：,求下列不定积分,68,例,循环法,69,解方程组得,或解,例,70,分部积分法与换元法结合：,例,解,71,训练：,求下列不定积
6、分,72,解,例,因为,所以,73,例,解,由题意,74,第六节 综合杂例,例,计算下列不定积分：,75,解,例,76,例,77,例,78,例,79,例,80,例,81,或解,82,例,83,例,84,例,85,例,解,86,例,87,例,88,有理函数的积分：,假定分子与分母之间没有公因式(既约分式).,有理函数是,真分式,；,有理函数是,假分式,；,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。,89,例,要点：,将真分式化为,部分分式之和,。,以下只考虑真分式的积分。,90,真分式的分解：,（1）分母中若有因式 ，则分解后有,真分式化为部分分式之和的一般规律：,（2）分母中若有因式 ，则分解后有,91,（3）,分母,中若有因式 ，其中,则分解后有,（4）,分母,中若有因式 ，,，则分解后有,其中,92,真分式化为部分分式之和的,待定系数法,：,例1,93,代入特殊值来确定系数,例2,94,例3,95,例4,96,真分式可分为以下四种类型的分式之和：,这四类分式均可积分，且原函数为初等函数。,因此，,有理函数的原函数都是初等函数,。,97,部分分式的积分,例5,例6,98,例7,99,例8,100,例9,101,例10,102,例11,灵活运用其他方法：,例12,103,END,END,104,
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