最小二乘估计.ppt

8,最小二乘估计,在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量和年龄之间近似存在着线性关系，这种,线性关系可以有,多种方法来进行刻画.但是这些方法都缺少数学思想依据,.,问题,1,.,用什么样的线性关系刻画会更好一些？,想法：,保证这条直线与所有点都接近（也就是距离最小）,.,最小二乘法就是基于这种想法,.,本节课我们来进行详细学习！,1.,了解最小二乘法的思想,.,2.,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程,.,(,重点,),3.,会用线性回归方程对总体进行估计,.,(,难点）,思考,1.,用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效？设直线方程为,y=,a+bx,，样本点,A,（x,i,，,y,i,）,方法一,:,点到直线的距离公式,方法二,:,A,0,显然方法二能有效地表示点,A,与直线,y=,a+bx,的距离，而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者之间的接近程度,.,思考,2.,怎样刻画多个点与直线的接近程度？,例如有,5,个样本点，其坐标分别为（,x,1,，,y,1,），（,x,2,，,y,2,），（,x,3,，,y,3,），（,x,4,，,y,4,），（,x,5,，,y,5,），与直线,y=,a+bx,的接近程度：,提示：,若有,n,个样本点：（,x,1,，,y,1,）,（,x,n,，,y,n,），可以用下面的表达式来刻画这些点与直线,y,a+bx,的接近程度,:,使上式达到最小值的直线,y=,a+bx,就是所要求的直线，这种方法称为,最小二乘法,.,先来讨论,3,个样本点的情况,思考,3,：,怎样使,达到最小值？,利用配方法可得,同样使用配方法可以得到，当,从而得到直线,y=,+bx,的系数,，,b,，且称直线,y=,+bx,为这,3,个样本点的线性回归方程.,用同样的方法我们可以推导出,n,个点的线性回归方程的系数：,牢记公式,特别提醒：,在回归直线方程中，,b,是回归直线方程的斜率，,a,是截距；,b,的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表,x,每增加一个单位，,y,的平均增加单位数,.,一般地说，当回归系数,b,0,时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当,x,每增加一个单位时，,y,就增加,b,个单位；当,b,0,时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当,x,每增加一个单位时，,y,就减少,b,个单位,.,思考,4:,如果样本点只有两个，用最小二乘法得到的直线与用两点式求出的直线一致吗？,提示,:,是一致的,.,与用两点式相同,.,例,1,在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部,6,天卖出热茶的杯数（,y,）与当天气温（,x,）之间是线性相关的,.,数据如下表,:,气温（,x,i,）,26,18,13,10,4,-1,杯数（,y,i,）杯,20,24,34,38,50,64,(1),试用最小二乘法求出线性回归方程,.,(2),如果某天的气温是,3,，请预测这天可能会卖出热茶多少杯,.,解,：,（,1,）由散点图可以看出，两个变量,是线性相关的,.,（,2,）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是,3,时，卖出热茶的杯数估计为：,57.557-1.648,(-3)63(,杯）,.,1.,利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系,.,2.,散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公式求出方程,.,3.,直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合,.,【,说明,】,例,2,下面是两个变量的一组数据：,x,1,2,3,4,5,6,7,8,y,1,4,9,16,25,36,49,64,请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程,.,解,根据上表数据，可以计算出：,其他数据如下表,i,1,1,1,1,1,2,2,4,4,8,3,3,9,9,27,4,4,16,16,64,5,5,25,25,125,6,6,36,36,216,7,7,49,49,343,8,8,64,64,512,合计,36,204,204,1 296,，,思考：哪一个对呢？,y=-15+9x.,所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图,.,如果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这个规律性进行拟合,.,如果散点图呈现出线性关系,我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程,;,如果散点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利用其他的工具进行拟合,.,x,0,1,2,3,y,1,3,5,7,D,1.,已知,x,，,y,之间的一组数据如下表，则,y,与,x,的线性回归方程,y=,a+bx,必经过点,(),A.,（,2,，,2,）,B.,（,1.5,，,0,）,C.,（,1,，,2,）,D.,（,1.5,，,4,）,2.,（,2011,山东高考）,某产品的广告费用,x,与销售额,y,的统计数据如下表,A.63.6,万元,B.65.5,万元,C.67.7,万元,D.72.0,万元,根据上表可得回归方程,y=,bx+a,中的,b,为,9.4,，,据此模型预报广告费用为,6,万元时销售额为（）,B,3.,某连锁经营公司所属,5,个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：,（,1,）画出销售额和利润额的散点图,.,（,2,）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额,y,对销售额,x,的线性回归方程,.,商店名称,A,B,C,D,E,销售额（,x,）,/,千万元,3,5,6,7,9,利润额（,y,）,/,百万元,2,3,3,4,5,i,x,i,y,i,x,i,2,x,i,y,i,1,3,2,9,6,2,5,3,25,15,3,6,3,36,18,4,7,4,49,28,5,9,5,81,45,合计,30,17,200112,（,2,）数据如下表：可以求得,b=0.5,a=0.4,线性回归方程为：,/,千万元,解：,（,1,）,/,百万元,（,1,）,散点图如图所示：,4.,（,2011,安徽高考）,某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：,年份,2002,2004,2006,2008,2010,需求量（万吨）,236,246,257,276,286,（,1,）利用所给数据求年需求量（,y,）与年份（,x,）之间的回归直线方程,.,（,2,）利用（,1,）中所求出的直线方程预测该地,2012,年的粮食需求量（精确到,1,万吨）,.,（,2,）,300,万吨,答案：,2.,线性回归方程的系数：,1.,最小二乘法的思想.,一切澎湃于心，让我们真正能够在心里有所酝酿的东西，都值得我们去努力,.,