复数及其代数运算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复变函数,主讲人,:,胡 晓 晓,(674067),办公室,:7 B325,huxiaoxiao,1,复数是,16,世纪人们在解代数方程时引入的,1954,年，意大利数学物理学家,在所著,重要的艺术,一书中列出,将,10,分成两部分，使其积为,40,的问题,即求方程,x(10-x)=40,的根,它求出形式的根为,因而复数在历史上长期不能为人民所接受“虚数”这一名词就恰好反映了这一点,2,直到十八世纪,等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了,系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数,复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的,三人的工作进行的,3,到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用,4,柯西,复变函数论的奠基人之一,柯西（,Cauchy,，,1789-1857,），,十九世纪前半世,纪的法国数学家。证明了复变函数论的主要定理,以及在变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。,A.-L.,柯西,定义了复变函数的积分，建立了复积分的理论，他证明了,柯西积分,定理,。,用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。,柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。,18,世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没,有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这,种积分来研究多种多样的问题。,5,黎曼,复变函数论的奠基人之一,黎曼，,19,世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。黎曼,1826,年,9,月,17,日生于汉诺威的布列斯伦茨，,1866,年,7,月,20,日卒于意大利的塞那斯加，终年,40,岁。,1851,年，在高斯的指导下完成题为,单复变函数的一般理论的基础,的博士论文。,在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。,经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的,待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值,函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极,大地推动了拓扑学的初期发展。,6,魏尔斯特拉斯,复变函数论的奠基人之一,魏尔斯特拉斯，,K,W,T,(,Weierstrass,，,Karl WilhelmTheodor)1815,年,10,月,31,日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；,1897,年,2,月,19,日卒于柏林数学,在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数,与复,n,维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数,.,所确定的隐函数,zv,=hv(zm+1,，,，,zn,),(v=1,，,，,m),可展开为幂级数的定理,魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，,是他于,1860,年讲课中提出并于,1879,年发表,的“预备定理”,7,第一节 复数及其代数运算,一、复数的概念,二、复数的代数运算,三、小结与思考,一、复数的概念,二、复数的代数运算,三、小结与思考,一、复数的概念,二、复数的代数运算,8,一、复数的概念,1.,虚数单位,:,对虚数单位的规定,:,9,虚数单位的特性,:,10,2.,复数,:,11,1:,两个复数相等,?,2:Z=0,思考：两个复数能比较大小吗？,说明,两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小,.,反例,12,二,.,复数的代数运算,1,：定义,13,2,：复数运算所满足的运算律,14,3,：共轭复数,:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,.,例,1,解,15,共轭复数的性质,:,以上各式证明略,.,16,例,2,解,17,练习,解,18,练习,证,19,三、小结与思考,本课学习了复数的有关概念、性质及其运,算,.,重点掌握复数的运算,它是本节课的重点,.,20,思考题,复数为什么不能比较大小？,21,思考题答案,由此可见,在复数中,无法定义大小关系,.,22,第,1.1.2,节 复数的几何表示,一、复平面,1.,复数的模和辐角,三、小结与思考,二、复球面,23,一、复平面,(z,平面,),1.,复平面的定义,坐标平面上的点；,24,二：复数的模和辐角,显然下列各式成立,1.,复数的模,(,或长度,),25,26,27,x,y,0,2.,复数的辐角（,Argument,）,说明,28,2.,复数的辐角（,Argument,）,辐角不确定,.,29,x,y,0,辐角主值的定义,:,2.,复数的辐角（,Argument,）,30,X,y,0,31,练习,是不是永远成立；,32,练习,33,34,例,3,求,Arg,(-3-4i),35,利用复数的模与辐角,我们给出复数的两个非常重要的表示法36,1.,复数的三角表示法,x,x,y,0,37,2:,复数的指数表示法,38,例,4,将下列复数化为三角表示式与指数表示式,:,解,故三角表示式为,指数表示式为,39,故三角表示式为,指数表示式为,40,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,;,两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和,.,证,证毕,41,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加,.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,42,说明,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集,.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应,.,例如，,43,由此可将结论推广到,n,个复数相乘的情况,:,44,两个复数的商的模等于它们的模的商,;,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差,.,定理二,证,按照商的定义,证毕,45,46,47,48,49,x,y,z,0,50,二：复球面,二,.,扩充复平面,一,.,复数的球面表示,51,一,.,复数的球面表示,除去点,N,外球面上的点,P,与复平面上的点,Z,为一一对应,即复数可用球面上的点来表示,.,52,球面上的点,N,复平面上没有复数与之对应,.,怎么做到球面上的点与复平面上的点一一对应,53,我们规定,:,复平面上无限远离原点的点称为,”,无穷远点”,它与球面上的点,N,相对应,.(,要求无穷远点是唯一,),二,.,扩充复平面,扩充复平面,:,包含无穷远点在内的复平面；,与扩充复平面对应的球面称为：,复球面,复平面,:,不包含无穷远点在内的复平面,.,本书如无特别说明，只考虑有限复数及复平面,54,：复数,55,三、小结与思考,学习的主要内容有复数的模、辐角,;,复数的各种表示法,.,并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面,.,注意,：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大,这个复数相对应,所谓,无穷大,是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的,无穷大,或正、负,无穷大,混为一谈,56,作业,57,