直线的投影.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,第四节直线的投影,第四节直线的投影,直线的投影,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,直线的投影可由直线上任意两点的投影决定,1.,直线的倾角：,对水平投影面的夹角,对正投影面的夹角,对侧投影面的夹角,一、,一般位置直线的投影,一般位置直线对面的倾角,NEW一般位置直线对面的倾角,NEW,例,：求,一般位置直线对面的倾角,实长,一般位置直线对面的倾角,例,：求,一般位置直线对面的倾角,实长,一般位置直线的投影特性,直线的各投影均对投影轴倾斜；,直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角。,当直线,AB,倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影,ab,长度小于实长，缩短多少，根据对投影面夹角大小确定。,A,0,z,y,x,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,实长,实长,实长,Z,a,-Z,b,直角三角形法：,两直角边、斜边、锐角,二、直线的实长与真实倾角,例题,3,例题,2-6,已知直线,AB,的正面投影和点,A,的水平投影,a,并知,AB=25,求,AB,的水平投影,ab,及,AB,对,V,面的倾角,。,X,O,a,a,b,25,b,例题,4,例题,2-7,已知直线,AB,的水平投影,ab,，,和正面投影,a,并知,AB,对H,面的倾角为30，求,AB,的正面投影,及实长,X,O,a,a,b,b,b,1,30,1,投影面的平行线,2,投影面的垂直线,三,.,特殊位置位置的直线：,（,1,）水平线,e,f,反映实长,abc,1,投影面的平行线,EF,实长,水平线投影图,反映实长,AA,（,2,）正平线,对侧投影面的夹角,直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角。,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,4、两直线垂直相交直角投影定理,例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB和CD的三面投影。,例题：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30。,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,例：判断图中两条直线是否平行。,例题:判定点K是否在直线AB上。,例：求一般位置直线对面的倾角,反映实长,正平线投影图,（,3,）侧平线,反映实长,实长,侧平线投影图,水平线的投影特征：,平行线的投影特征：,（,1,）在与其平行的投影面上的投影反映实长；,（,2,）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角；,（,3,）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实长。,25,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,30,b,b,b,例题,：过点,A,向,右上方作一正平线,AB,使,其实长为25，与,H,面的倾角,=30,。,2,投影面的垂直线,（,1,）铅垂线,水平投影积聚为 一点；其它两个投影平行于轴，并反映直线实长；直线与,H,面的夹角,实长,铅垂线,铅垂线的投影,（,2,）正垂线,d,c,C,D,正垂线的投影,（,3,）侧垂线,e,f,侧垂线的投影,e,f,（,1,）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚 为一点；,（,2其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。,垂直线的投影特征：,X,O,Z,Y,H,Y,W,b,a,a,a,b,（,b,）,例题 根据投影图判断下列直线的空间位置,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,（,b,）,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,既然垂直线也平行于投影面，能否称它为平行线呢？,讨论,X,O,Z,Y,H,Y,W,b,a,a,a,b,（,b,）,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,c,c,d,d,点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上,定比性,：,AC,：,CB=a,c,:cb,=ac:cb=a,c,:c,b,四、直线上的点,b,X,O,a,a,b,d,D,d,e,e,1,、,C,点在直线上,点在直线上上。,点的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。,C,点在直线上,利用直角投影定理，可完成过点作投影面平行线的垂线，或与其相关的求点到直线距离，求直角三角形、等腰三角形等平面图形投影的作图问题。,相交直线可能成为某一投影面的重影线,其它两个投影平行于轴，并反映直线实长；,例题:判定点K是否在直线AB上。,3、交叉两直线投影特性,4、两直线垂直相交直角投影定理,点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上,例：求一般位置直线对面的倾角,4、两直线垂直相交直角投影定理,一般位置直线对面的倾角,1、平行两直线投影特性,如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投影平行则可以认为直线平行。,相交成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角。,其它两个投影平行于轴，并反映直线实长；,例题:判定点K是否在直线AB上。,2,、点不在 直线上。,NEW,例题,:,在直线,AB,上,找一点,K,使,AK:KB=3:2,。,b,X,O,a,a,b,3,2,k,k,例题,:,判定点,K,是否在直线,AB,上。,k,O,Z,Y,H,Y,W,a,b,k,k,X,a,a,b,b,例题,:,判定点,K,是否在直线,AB,上。,例题,:,已知点,C,在直线,AB,上，,且,AC,=20,求,C,点的投影。,b,X,O,a,a,b,20,c,c,四、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置,同面直线,异面直线,平行,相交,交叉,1,、平行两直线投影特性,两直线平行，他们同名投影一定平行,两直线的同面投影相互平行，且其长度之比等于投影长度之比。,如何利用投影特性根据投影判断两直线是否平行？,如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投影平行则可以认为直线平行。,如果两直线都平行于某投影轴，则必须根据第三投影或比例关系判断。,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,bd,a,x,a,b,c,d,c,a,b,d,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,x,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB,与,CD,不平行。,例：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断？,例,：,已知直线,AB,平行直线,CD,，试完成直线,AB,和,CD,的三面投影。,题解：,a,c,b,b,d,a,c,d,d,a,c,b,NEW,2,、相交两直线投影特性,相交两直线同面投影都相交，且交点符合点的投影规律,如何利用投影特性根据投影判断两直线是否相交？,投影上交点连线垂直于投影轴。,相交直线可能成为某一投影面的重影线,H,V,A,B,C,D,K,a,b,c,d,k,a,b,c,k,d,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,x,x,o,o,c,a,b,b,a,c,d,k,k,d,例：过,C,点作水平线,CD,与,AB,相交。,先作正面投影,o,x,思考：如果给出,CD,的长度，解题过程有何变化？,3,、交叉两直线投影特性,既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性,交叉直线的同面投影若相交，其交点并非一个点的投影，而是两条直线上的两个点的重影。其重影点的可见性应根据两个点的相对位置来判别。,d,b,a,a,b,c,d,c,1,(,2,),3(4),两直线交叉,投影特性,：,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“,交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、,是面的重影点，,、,是,H,面的重影点。,1,2,3,4,两交叉直线,正面投影重影点,水平投影重影点,交叉两直线的投影,两侧平线的投影反映和的线段实长,g,h,g,h,h,g,4,、两直线垂直相交,直角投影定理,如果两直线在空间上垂直,(,垂直相交或垂直交叉,),，当其中一条直线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影垂直。,利用直角投影定理，可完成过点作投影面平行线的垂线，或与其相关的求点到直线距离，求直角三角形、等腰三角形等平面图形投影的作图问题。,相交成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角。,a,b,c,水平线,a,b,b,a,例,：过点作直线垂直于,为任意长度。,X,O,a,b,b,a,题意分析：,X,O,水平线（实长）,有无穷多解，可任意做一解。,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,其它两个投影平行于轴，并反映直线实长；,如何利用投影特性根据投影判断两直线是否平行？,相交直线可能成为某一投影面的重影线,对正投影面的夹角,对侧投影面的夹角,直线的各投影均对投影轴倾斜；,例题:判定点K是否在直线AB上。,例：求一般位置直线对面的倾角,直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角。,相交直线可能成为某一投影面的重影线,1、平行两直线投影特性,例：求一般位置直线对面的倾角,例：过C点作水平线CD与AB相交。,其它两个投影平行于轴，并反映直线实长；,例 过点,A,作,EF,线段的垂线,AB,b,b,x,o,e,f,a,e,f,a,例,以最短线,KM,连接,AB,，确定,M,点，并求出,KM,实长。,a,b,a,b,k,k,a,b,ab,k,k,a,b,a,b,k,k,m,m,M,0,L,KM,m,m,X,X,X,返回,例 过点,E,作线段,AB,、,CD,的公垂线,EF,。,f,e,x,o,a,b,c,d,e,a,b,c,d,f,例 以最短线KM连接AB，确定M点，并求出KM实长。,例题:在直线AB上找一点K,使AK:KB=3:2。,例题:判定点K是否在直线AB上。,例：过点作直线垂直于,为任意长度。,例题2-6 已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a,并知AB=25,求AB 的水平投影ab及AB对V面的倾角。,3、交叉两直线投影特性,一般位置直线的投影特性,有无穷多解，可任意做一解。,相交直线可能成为某一投影面的重影线,对侧投影面的夹角,4、两直线垂直相交直角投影定理,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,例题:判定点K是否在直线AB上。,2、点不在 直线上。,直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角。,例,:,判定下列图中两直线的相对位置（平行、相交、垂直相交、交叉）,1.,交叉,2.,垂直相交,3.,相交,例：直角投影定理,例：直角投影定理,