同济高等数学第一章第一节公开课课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、集合,二、映射,三、函数,1.1,映射与函数,上页,下页,铃,结束,返回,首页,1.集合,集合,集合是指具有某种特定性质的事物的总体,.,集合可用大写的字母,A,B,C,D,等标识,.,元素,组成集合的事物称为集合的元素,.,集合的元素可用小写的字母,a,b,c,d,等标识,.,a,是集合,M,的元素记为,a,M,读作,a,属于,M,.,a,不是集合,M,的元素记为,a,M,读作,a,不属于,M,.,一、集合,下页,集合的表示,列举法,把集合的全体元素一一列举出来.,例如,A,a,b,c,d,e,f,g,.,描述法,若集合,M,是由元素具有某种性质,P,的元素,x,的全体所组成,则,M,可表示为,M,x,|,x,具有性质,P,.,例如,M,(,x,y,)|,x,y,为实数,x,2,y,2,1.,下页,几个数集,所有自然数构成的集合记为,N,称为自然数集,.,所有实数构成的集合记为,R,称为实数集,.,所有整数构成的集合记为,Z,称为整数集,.,所有有理数构成的集合记为,Q,称为有理集,.,子集,如果集合,A,的元素都是集合,B,的元素,则称,A,是,B,的子集,记为,A,B,(读作,A,包含于,B,),.,A,B,若,x,A,则,x,B,.,显然,N,Z,Z,Q,Q,R,.,下页,2.集合的运算,设,A,、,B,是两个集合,则,A,B,x,|,x,A,或,x,B,称为,A,与,B,的并集(简称并).,A,B,x,|,x,A,且,x,B,称为,A,与,B,的交集(简称交).,A,B,x,|,x,A,且,x,B,称为,A,与,B,的差集(简称差).,A,C,I,A,x,|,x,A,为称,A,的余集或补集,其中,I,为全集.,提示:,如果研究某个问题限定在一个大的集合,I,中进行,所研究的其他集合,A,都是,I,的子集.则称集合,I,为全集或基本集.,下页,数集,x,|,a,x,b,称为开区间,记为(,a,b,),即(,a,b,),=,x,|,a,x,b,.,a,b,=,x,|,a,x,b,闭区间,.,a,b,)x,|,a,x,b,半开区间,(,a,b,=,x,|,a,x,b,半开区间,.,有限区间,上述区间都是有限区间,其中,a,和,b,称为区间的端点,b,-,a,称为区间的长度,.,下页,3.区间和邻域,(,-,b,=,x,|,x,b,(,-,+,),=,x,|,x,|,+,.,a,+,),=,x,|,a,x,无限区间,(,-,b,),=,x,|,x,b,(,a,+,),=,x,|,a,0,则称,U,(,a,),=,(,a,-,a,+,),=,x,|,x,-,a,|,为点,a,的,邻域,其中点,a,称为邻域的中心,称为邻域的半径,.,去心邻域,U,(,a,),=,x,|0|,x,-,a,|,下页,单值函数与多值函数,在函数的定义中,对每个,x,D,对应的函数值,y,总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.,如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个,x,D,总有确定的,y,值与之对应,但这个,y,不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如,由方程,x,2,y,2,r,2,确定的函数是一个多值函数:,下页,此多值函数附加条件“,y,0”后可得到一个单值分支,下页,表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的点集,P,(,x,y,)|,y,f,(,x,),x,D,称为函数,y,f,(,x,),x,D,的图形函数的表示法,此函数称为绝对值函数,其定义域为,D,=,(,-,+,),其值域为,R,f,=,0,+,),.,例6,例5,函数,y,=,2,.,这是一个常值函数,其定义域为,D,=,(,-,+,),其值域为,R,f,=,2,.,下页,函数举例,此函数称为符号函数,其,定义域为,D,=,(,-,+,),其值域为,R,f,=,-,1,0,1,.,例8,函数,y,=,x,.,例7,下页,注:,设,x,为任上实数,不超过,x,的最大整数称为,x,的整数部分,记作,x,.,此函数,称为取整函数,其定义域为,D,=,(,-,+,),其值域为,R,f,=,Z,.,例9,此函数,的,定义域为,D,=,0,1,(0,+,),=,0,+,),.,f,(3),=,1,+,3,=,4,.,分段函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.,下页,设函数,f,(,x,),的定义域为,D,数集,X,D,.,如果存在数,K,1,使对任一,x,X,有,f,(,x,),K,1,则称函数,f,(,x,),在,X,上有上界,.,(1)函数的有界性,如果存在数,K,2,使对任一,x,X,有,f,(,x,),K,2,则称函数,f,(,x,),在,X,上有下界,.,如果存在正数,M,使对任一,x,X,有,|,f,(,x,)|,M,则称函数,f,(,x,),在,X,上有界,;,如果这样的,M,不存在,则称函数,f,(,x,),在,X,上无界,.,下页,2.函数的几种特性,f,(,x,),=,sin,x,在(,-,+,)上是有界的,:,|sin,x,|,1,.,所以函数无上界,.,下页,函数的有界性举例,设函数,y,=,f,(,x,)在区间,I,上有定义,x,1,及,x,2,为区间,I,上任意两点,且,x,1,x,2,.,如果恒有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),则称,f,(,x,)在,I,上是单调减少的,.,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数,.,下页,设函数,f,(,x,)的定义域,D,关于原点对称,如果在,D,上有,f,(,-,x,),=,f,(,x,),则称,f,x,)为偶函数,.,如果在,D,上有,f,(,-,x,),=-,f,(,x,),则称,f,(,x,)为奇函数,.,(3)函数的奇偶性,奇偶函数举例,y,=,x,2,y,=,cos,x,都是偶函数,.,y,=,x,3,y,=,sin,x,都是奇函数,.,下页,奇函数的图形对称于原点,偶函数的图形对称于,y,轴,奇偶函数的图形特点,下页,设函数,f,(,x,)的定义域,D,关于原点对称,如果在,D,上有,f,(,-,x,),=,f,(,x,),则称,f,(,x,)为偶函数,.,如果在,D,上有,f,(,-,x,),=-,f,(,x,),则称,f,(,x,)为奇函数,.,(3)函数的奇偶性,(4)函数的周期性,设函数,f,(,x,)的定义域为,D,.,如果存在一个不为零的数,l,使得对于任一,x,D,有(,x,l,),D,且,f,(,x,+,l,),=,f,(,x,),则称,f,(,x,)为周期函数,l,称为,f,(,x,)的周期,.,周期函数的图形特点,下页,下页,3.反函数与复合函数,反函数,设函数,f,:,D,f,(,D,)是单射,则它存在逆映射,f,1,:,f,(,D,),D,称此映射,f,1,为函数,f,的反函数.,按习惯,y,f,(,x,),x,D,的反函数记成,y,f,1,(,x,),x,f,(,D,).,例如,函数,y,x,3,x,R,是单射,所以它的反函数存在,其反函数为,函数,y,x,3,x,R,的反函数是,提问:,下列结论是否正确？,3.反函数与复合函数,反函数,设函数,f,:,D,f,(,D,)是单射,则它存在逆映射,f,1,:,f,(,D,),D,称此映射,f,1,为函数,f,的反函数.,按习惯,y,f,(,x,),x,D,的反函数记成,y,f,1,(,x,),x,f,(,D,).,若,f,是定义在,D,上的单调函数,则,f,:,D,f,(,D,)是单射,于是,f,的反函数,f,1,必定存在,而且容易证明,f,1,也是,f,(,D,)上的单调函数.,下页,相对于反函数,y,f,1,(,x,)来说,原来的函数,y,f,(,x,)称为直接函数.,函数y,f,(,x,)和,y,f,1,(,x,)的图形关于直线,y,x,是对称的.,3.反函数与复合函数,反函数,设函数,f,:,D,f,(,D,)是单射,则它存在逆映射,f,1,:,f,(,D,),D,称此映射,f,1,为函数,f,的反函数.,按习惯,y,f,(,x,),x,D,的反函数记成,y,f,1,(,x,),x,f,(,D,).,下页,3.反函数与复合函数,设函数,y,f,(,u,)的定义域为,D,1,函数,u,g,(,x,)在,D,上有定义且,g,(,D,),D,1,则由,y,f,g,(,x,),x,D,确定的函数称为由函数,u,g,(,x,)和函数,y,f,(,u,)构成的复合函数它的定义域为,D,变量,u,称为中间变量.,复合函数,函数,g,与函数,f,构成的复合函数通常记为,f,o,g,即,(,f,o,g,)(,x,),f,g,(,x,).,说明:,g,与,f,构成的复合函数,f,o,g,的条件是:是函数,g,在,D,上的值域,g,(,D,)必须含在,f,的定义域,D,f,内,即,g,(,D,),D,f,.否则,不能构成复合函数.,例如,下页,4.函数的运算,设函数,f,(,x,),g,(,x,)的定义域依次为,D,1,D,2,D,D,1,D,2,则可以定义这两个函数的下列运算:,和(差),f,g,:(,f,g,)(,x,),f,(,x,),g,(,x,),x,D积,f,g,:(,f,g,)(,x,),f,(,x,),g,(,x,),x,D,;,下页,例10,设函数,f,(,x,)的定义域为(,l,l,),证明必存在(,l,l,)上的偶函数,g,(,x,)及奇函数,h,(,x,),使得,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,).,提示:,如果,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,),则,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,),于是,证,则,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,),且,下页,基本初等函数,幂函数:,y,x,(,R,是常数);,指数函数:,y,a,x,(,a,0且,a,1);,对数函数:,y,log,a,x,(,a,0且,a,1),特别当,a,e,时,记为,y,ln,x,;,三角函数:,y,sin,x,y,cos,x,y,tan,x,y,cot,x,y,sec,x,y,csc,x,;,5.初等函数,下页,反三角函数:,y,arcsin,x,y,arccos,x,y,arctan,x,y,arccot,x,.,5.初等函数,初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,都是初等函数,.,例如,函数,下页,非初等函数举例:,符号函数,取整函数,双曲函数,应用上常遇到的双曲函数是,:,双曲正弦,:,双曲余弦,:,双曲正切,:,下页,双曲函数与反双曲函数,双曲函数与反双曲函数,双曲函数的性质,比较,sin(,x,y,),=,sin,x,cos,y,cos,x,sin,y,.,sh(,x,y,),=,sh,x,ch,y,ch,x,sh,y,ch,2,x,-,sh,2,x,=,1,ch(,x,y,),=,ch,x,ch,y,sh,x,sh,y,sh 2,x,=,2sh,x,ch,x,ch 2,x,=,ch,2,x,+sh,2,x,.,比较,cos(,x,y,),=,cos,x,cos,y,sin,x,sin,y,.,下页,双曲函数与反双曲函数,反双曲函数,双曲函数,y,=,sh,x,y,=,ch,x,y,=,th,x,的反函数依次记为,反双曲正弦,:,y,=arsh,x,反双曲余弦,:,y,=arch,x,反双曲正切,:,y,=arth,x,.,可以证明,结束,堂上练习,1.求,的反函数及其定义域,.,2.P,17,第,11,题,3.P,17,第,12,题,1.求,的反函数及其定义域,.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,