导数的定义.ppt

第二章 导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 Fermat 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)英国数学家 Newton一、导数（微商）的背景一、导数（微商）的背景t 很小，速度近乎均匀，则很小，速度近乎均匀，则2.1 导数概念1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题 割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 切线切线2.切线问题切线问题 过点过点M做割线做割线MN，当，当N沿曲沿曲线线C向向M滑动时，滑动时，若割线若割线MN极极限位置限位置MT存在，存在，则称直线则称直线MT为曲线为曲线C在在M处的处的切线切线.切线可看作曲线上过某定点的一系列割线的极限位置切线可看作曲线上过某定点的一系列割线的极限位置。抽去具体的物理、几何内容，从抽象的数量关系来看,都归结为下面形式的极限二、导数概念1.导数定义x0 x0+xxx(1)(2)(3)例3 求函数y=f(x)=x在x=2的导数。解 用（1）式.在x=2处，当自变量有改变量x时相应的函数改变量为y=f(2+x)f(2)=2+x2 =x因此，在x=2处函数y=x的导数=1用（2）式.=1练习：求函数 在 的导数 2.单侧导数例4 讨论函数f(x)=|x|在x=0处是否可导。解 由于f(0)=0，根据左导数与右导数的定义=1=1因为 所以函数f(x)=|x|在在x=0处不可导处不可导。函数函数f(x)在点在点x0的导数的导数 ，正是该函数的导数正是该函数的导数 在该点在该点x0的值的值，即即类似可以得出例5 求函数y=x3在x=2的导数y，并求y|x=2。解 先求导函数将x=2代入导函数中求出导数值=12例6 求常量函数y=C的导数。解 对函数y=C在定义域上的任意一点x，若自变量有改变量x，则相应的函数改变量为y=CC=0于是即有常量函数的导数公式常量函数的导数公式（C）=0练习：练习：P.41 2 P.41 2（1 1）（）（2 2）（3 3）证：证：例7 设函数y=，证明特别地，当a=e时，有导数公式例例8 设函数设函数 y=sinx，证明：证明：y=cosx即 (sinx)=cosx用同样的方法可得 (cosx)=sinx证明：证明：练习：练习：P.41 3 P.41 3（1 1）（）（2 2）（）（3 3）3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义(1)几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为(2)物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度.解：解：由公式由公式(x)=x 1可得可得例9 求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程和法线方程。y=3x2，y|x=2=12.所以，切线方程为所以，切线方程为y 8=12(x 2)或 12x y 16=0或 x+12y 98=0法线方程为法线方程为练习：P.41 4（1）三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系推论推论 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证可导可导=连续连续例例问题问题 连续函数是否可导？连续函数是否可导？连续连续可导可导而而不可导不可导 1.可导可导=连续连续=极限存在极限存在 2.极限不存在极限不存在=不连续不连续=不可导不可导 极限存在：极限存在：连连 续：续：可可 导：导：例例11 讨论讨论 在在 x=1及及 x=2 处的可导性。处的可导性。f(x)在在x=2极限不存在，因此不连续极限不存在，因此不连续,也不可导也不可导对于对于 x=1:小结导数定义用定义求导数的方法导数的实际意义可导与连续(1)求增量求增量 y(2)求比值求比值(3)求极限求极限作业 P41 A组：1 （2）2 （2）（4）（5）3 （2）（4）4 （3）（4）