弹塑性力学总复习.doc

《弹塑性力学》课程
期末复习总结

第一篇 基础理论部分
第一章 应力状态理论
1.1 基本概念
1． 应力的概念
应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力
由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力和微分面上的剪应力。
注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。
2． 一点的应力状态
（1）一点的应力状态概念
凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。
（2）应力张量
物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为

若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面上的应力矢量就可以由以下公式求出：
（1-1’a）
（1-1’b）
（1-1’c）
由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力、正应力和剪应力：
（1-2a）
（1-2b）
（1-2c）
（3）主平面、主方向与主应力
由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。
主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：
（1-3）
式中，为该点应力张量分量构成的矩阵，为主应力，为主方向矢量。
由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式（1-3）必定存在实数的特征值，即主应力必然存在。求解主应力的特征方程如下：
（1-4a）
式中，I1、I2和I3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。并且，
（1-4b）
（1-4c）
（1-4d）
应注意在主应力求出之后，相应的主方向的求解方法。
（5）最大剪应力
在与主方向成450角的微分面内，剪应力取极值。若规定，则最大剪应力出现在过主应力轴而平分和轴的微分面上并且
（1-5）
（6）应力球量与应力偏量——应力张量的分解
（1-6）
式中，和分别称为应力球量和应力偏量，并且 。
对应力偏量，可以类似于应力张量那样，得到其主值及其三个不变量：
（1-7a）
（1-7b）
（1-7c）
（1-7d）
（7）八面体上正应力和剪应力
（1-8a）
（1-8b）
1.2 静力平衡方程
（1-9a）
（1-9b）
（1-9c）
1.3 静力边界条件
三类边界：位移边界、应力边界和混合边界。尤其应注意应力边界条件的表示形式：
（1-10a）
（1-10b）
1-10c）
第二章 应变状态理论
2.1 基本概念
1．位移、变形与应变
位移：物体内各点位置的变化。变形：刚体位移+形状的改变。描述物体内微元体形状改变的物理量，称为应变。
应变分为两种不同的定义：正应变和剪应变。正应变用于描述微分平行六面体棱边的相对伸长量，剪应变用于描述棱边间夹角的变化。
2．一点的应变状态
（1）应变张量
与一点的应力状态概念类似，为了描绘一点的应变状态，需要引进应变张量的概念。在直角坐标系里，应变张量可表示为

（2）应变主方向、主应变与应变张量的不变量
对物体内任一点，至少都可以找到3个相互垂直的方向，沿这些方向的微分线段在物体变形后仍相互保持垂直，具有这种性质的方向称为应变主方向，把这样方向的微分线段的正应变，称为主应变。
与求解主应力、主方向一样，主应变、应变主方向的求解在数学上也归结为求解一个特征问题：
（2-1）
求解主应变的特征方程如下：
（2-2a）
式中，、和分别称为应变张量的第一、第二和第三不变量。并且，
（2-2b）
（2-2c）
（2-2d）
（4）应变球量与应变偏量——应变张量的分解
（2-3）
（5）体积应变
（2-4）
2.2 几何方程（Cauchy方程）
，，
，， （2-5）
应注意工程剪应变与应变张量分量之间的区别：
2.3 应变协调方程（Saint Venant方程）——保证物体连续性的必要条件
（2-6a）
（2-6b）
（2-6c）
（2-6d）
（2-6e）
（2-6f）
第三章 本构方程
3.1 基本概念
1．线弹性体的广义Hooke定律
（3-1）
2．弹性应变能的概念
由于弹性体的变形而储存在物体内部的势能称为弹性应变能。单位体积的弹性应变能称为应变能密度，用表示。
对弹性体，应变能密度函数可表示为以下的一般形式：
（3-2a）
对线弹性体，应变能密度函数的形式如下：
（3-2b）
3．几种常见的弹性体的基本概念
（1） 各向异性弹性体
（2） 具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
（3） 正交各向异性弹性体
（4） 横贯各向同性弹性体
（5） 各向同性弹性体
以上各种弹性体的概念，应注意结合实际工程背景去理解。
4．各向同性弹性体的本构方程
（1）用应力表示应变的形式

（3-3a）

，，，剪切模量。
（2）用应变表示应力的形式

（3-3b）

，，
式中，、称为拉梅常数，而且，。
5．体变能与畸变能的概念——弹性应变能的分解
体变能 →应力球量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，体变能可表示为，为体积模量。
畸变能 →应力偏量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，畸变能可表示为
6．屈服、屈服条件、屈服函数、屈服面与加载条件、加载函数和加载面的概念
屈服：首次由弹性变形状态进入塑性变形状态的界限。屈服概念可以从低碳钢试件的拉伸试验去理解。
屈服条件一般是指物体内任一点首次由弹性变形状态进入塑性变形状态，该点的应力状态所满足的条件。它是判断材料受力到什么程度才开始出现塑性变形的准则。
若把屈服条件用数学函数形式表示，则相应的函数即称为屈服函数，屈服函数在应力空间中对应的曲面，称为屈服曲面。
加载条件、加载函数和加载面都是对应于物体发生屈服之后的“屈服”概念——后继屈服概念。
7．几种常见的弹塑性体模型
（1） 理想弹塑性模型
（2） 理想刚塑性模型
（3） 弹塑性线性强化模型
（4） 刚塑性线性强化模型
（5） 幂次强化模型
8．塑性理论的基本假设
9．Druck公设与加卸载准则
（1）强化模型
， 弹性状态 （3-4a）
， 加载 （3-4b）
， 卸载 （3-4c）
， 中性变载 （3-4d）
（2）理想弹塑性模型
， 弹性状态 （3-5a）
， 加载 （3-5b）
， 卸载 （3-5c）
10．主应力空间中的屈服面形状
11．常用的几个屈服条件
（1）Tresca屈服条件：一般形式为。
在主应力大小已知情况下，Tresca屈服条件应用起来最为简便。即若假设，则有，此时Tresca屈服条件可改写为或。
（2）Mises屈服条件：一般形式为或。
（3）Coulomb—Mohr屈服条件
12．Mises的塑性位势理论
13．简单加载定理
3.2 弹塑性本构方程
1．增量形式
（3-6）
2．全量形式
（3-7a）
（3-7b）
第四章 弹塑性力学问题的提法和基本解法
4.1 弹塑性力学问题所满足的三个基本关系
1． 平衡关系——参见式（1.9）
2． 几何关系——参见式（2.5）和式（2.6）
3． 本构（物理）关系——参见式（3.3）、式（3-6）和式3.7）
任何一个弹塑性力学问题都要同时满足以上三个基本关系，这三个基本关系和边界条件构成了弹塑性力学问题的严格完整的提法。从弹塑性力学问题对应的数学问题看，这是一组偏微分方程组+边值条件的数学问题。因此，一个弹塑性力学问题的求解，就归结为求解一组偏微分方程组的边值问题。
4.2 弹塑性力学问题的基本解法
通常求解一个弹性力学问题，是要确定15个基本的未知量，它们分别为：6个应力分量和6个应变分量，以及3个位移分量。求解塑性力学问题，通常也要确定这15个基本的未知量，但由于材料进入塑性状态后的非线性性，加上所服从的加载和卸载规律不一样，所以求解过程远较弹性力学问题复杂，往往需要采用数值解法。以下仅介绍一般的求解策略。
1． 位移解法
（1） 基本思想
以3个位移分量作为基本未知量，并首先求出；在求出3个位移分量后，由几何方程确定6个应变分量，再利用本构方程确定6个应力分量。
（2） 定解方程及边界条件
位移解法的定解方程为以位移分量表示的平衡方程（L-N方程），边界条件应表述为位移分量表示的形式。
2． 应力解法
（1）基本思想
以6个应力分量作为基本未知量，并首先求出；在求出6个应力分量后，由本构方程确定6个应变分量，再利用几何方程确定3个位移分量。
（3） 定解方程及边界条件
应力解法的定解方程为静力平衡方程 + 以应力分量表示的协调方程（B-M方程），边界条件应表述为应力分量表示的形式。
3． 混合解法
以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，并首先求出；然后利用几何方程和本构方程确定其它未知量的方法。
4． 逆解法和半逆解法
第二篇 应用部分
第五章 简单弹塑性平面问题
5.1 两类平面问题
1．平面应力问题和平面应变问题的概念
2．平面问题的基本方程
5.2 平面问题的应力函数解法
无体力或常体力情况下，平面问题采用应力解法时，其定解方程为
（1）平衡方程：

+ （2）B-M方程：
若设Airy应力函数满足：，，，则平衡方程自动恒满足，协调方程（B-M方程）化为。可见，平面问题采用应力函数解法时，仅有一个基本未知量，相应的定解方程为。
5.3 梁的弹塑性平面弯曲问题的解
5.4 厚壁圆桶问题的解——轴对称问题的位移解法
5.5 半无限平面问题及圆孔应力集中问题的解——在极坐标系里求解
第六章 柱体扭转问题
6.1 柱体扭转问题的基本假设
6.2 柱体扭转问题的应力函数解法
6.3 解决柱体扭转问题的比拟方法
1．薄膜比拟法——仅适用于柱体的弹性扭转问题，尤其注意它在薄壁杆件扭转问题中的应用。
2．沙堆比拟法——仅适用于受扭柱体整个截面都进入塑性的情况。
3．薄膜—玻璃屋顶比拟法——适用于柱体的弹塑性扭转问题。
第七章 薄板小挠度弯曲问题
7.1 基本概念与基本假设
7.2 薄板小挠度弯曲问题的位移解法
7.3 薄板小挠度弯曲问题的经典解法——级数解法
第三篇 能量原理及其应用
第八章 基本的能量原理
8.1 真实状态与可能状态
8.2 弹性体的应变能与应变余能
1．总应变能的表达式
线弹性体的应变能密度函数的表达式：

总应变能
直杆在拉伸、弯曲情况下以及圆杆扭转的应变能表达式为：

2．总应变余能的表达式
对线弹性体，应变余能应变能U。
8.3 基于位移可能状态的能量原理——虚位移原理和最小势能原理
8.4 基于应力可能状态的能量原理——虚应力原理和最小余能原理
第九章 能量原理的应用
9.1 李兹（Ritz）法
1．基于最小势能原理的李兹解法
2．基于最小余能原理的李兹解法
9.2 迦辽金法
1．基于最小势能原理的迦辽金解法
2．基于最小余能原理的迦辽金解法