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匈牙利算法示例宣讲课件.ppt

1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,文档仅供参考,不能作为科学依据,请勿模仿;如有不当之处,请联系网站或本人删除。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,文档仅供参考,不能作为科学依据,请勿模仿;如有不当之处,请联系网站或本人删除。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,文档仅供参考,不能作为科学依据,请勿模仿;如有不当之处,请联系网站或本人删除。,经典问题,工作分配,一个公司有,n,个工作岗位空缺,每个岗位空缺需要有一定资格的人来填补。现在

2、有,m,个人申请这,n,个工作。由于每个人工作能力不同,所以不同的人能胜任不同的工作。,现在已知每个人所能胜任的若干工作,,求这,m,个人最多可以填补几个工作岗位。,每个人只能做一份工作,每个工作岗位也只需要一个人,二分图,设,G=(V,R),是一个无向图。图的顶点集,V,可分割为两个互不相交的子集,X,和,Y,(子集内部没有边),,图任何一条边的两个端点都分属不同的子集。则称图,G,为二分图。,用,n,个顶点,X=1,2,3,4,5,表示,n,个工作,用,m,个顶点,Y=A,B,C,D,E,F,表示,m,个工人。,1,2,3,4,5,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,5,A,B,C,D

3、E,F,二分图匹配,给定一个二分图,G,,在,G,的一个子图,M,中,,M,的边集,E,中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称,M,是一个匹配。在工作分配的问题中,我们给出一个可行的分配方案,就是一个匹配。,选择这样的边数最大的子集称为图的,最大匹配问题,如果这个匹配是最优的(可以填补的工作岗位最多),就是最大匹配。,1,2,3,4,5,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,5,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,5,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,5,A,B,C,D,E,F,2,3,4,5,A,B,D,E,1,2,3,4,5,A,B,D,E,1,2,3,4,5,A,B,C,

4、D,E,匈牙利算法,增广路的定义,(,也称增广轨或交错轨,),:若,P,是图,G,中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属,M,的边和不属,M,的边,(,即已匹配和待匹配的边,),在,P,上交替出现,则称,P,为相对于,M,的一条增广路径。,由增广路的定义可以推出下述三个结论:,1,),P,的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于,M,。,2,),P,经过取反操作可以得到一个更大的匹配,M,。,3,),M,为,G,的最大匹配当且仅当不存在相对于,M,的增广路径。,A,B,C,D,5,E,F,A,B,C,D,5,E,F,匈牙利算法,A,B,C,D,5,E,F,A,B,C,D,5,E,F,

5、1),找到某一匹配,M,(2),找出一条增广路径,P,,通过取反操作获得更大的匹配,M,代替,M,(3),重复,(2),操作直到找不出增广路径为止,设有,n,个工作,要由,n,个人来承担,每个工作只能由一个人承担,且每个人只能承担一个工作。,c,ij,表示第,i,个人做第,j,件事的费用,求总费用最低的指派方案。,i=1,2,n,j=1,2,n,分配问题及其,数学模型,有甲、乙、丙、丁、戊五位工人被指派去完成,A,、,B,、,C,、,D,、,E,五项任务,每个人完成任务所需的工时各不相同,见表。求应如何指派人员才能使得所用工时最少?,A,B,C,D,E,甲,12,7,9,7,9,乙,8,9,

6、6,6,6,丙,7,17,12,14,9,丁,15,14,6,6,10,戊,4,10,7,10,9,任务,时间,人员,7,匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理,.,定理,1,设,C=(Cij)nn,是指派问题的效益矩阵,若将,C,中的任一行(或任一列)减去该行(或该列)中的最小元素,得到新的效率矩阵,C,,则,C,对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解,.,定理,2,效率矩阵,C,中独立的,0,元素的最多个数等于覆盖所有,0,元素的最少直线数,.,当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解,.,8,匈牙利法的解题步骤:,第一步:变换指派问题的系数矩阵(,c,ij,)为,(,b,ij

7、),,使在,(,b,ij,),的各行各列中都出现,0,元素,,即,(1),从(,c,ij,)的,每行元素都减去该行的最小元素;,(2),再从所得新系数矩阵的,每列元素中减去该列的最小元素。,-7,-6,-7,-6,-4,-0,-0,-0,-0,-0,第二步:进行试指派,以寻求最优解。,在,(,b,ij,),中找尽可能多的,独立,0,元素,,若能找出,n,个独立,0,元素,就以这,n,个独立,0,元素对应解矩阵,(,x,ij,),中的元素为,1,,其余为,0,,这就得到最优解。,找独立,0,元素,,常用的步骤为,:,(1),从,只有一个,0,元素的,行,(,列,),开始,给这个,0,元素加圈,

8、记作,。然后划去,所在,列,(,行,),的其它,0,元素,记作,;这表示这列所代表的任务已指派完,不必再考虑别人了。,(2),给只有一个,0,元素的,列,(,行,),中的,0,元素加圈,记作,;然后划去,所在行的,0,元素,记作,(3),反复进行,(1),,,(2),两步,直到尽可能多的,0,元素都被圈出和划掉为止。,第三步;作最少的直线覆盖所有0元素,以确定该系数矩阵中能找到最多的独立元素数。,(1)对没有,的行打,(2)在已经打的行中所含有的0元素打号,(3)在已经打号的列中含,元素的行打;,(4)重复(2)(3)直到得不出打的行列为止,(5)对没有打的行画一横线,有打的列画一纵线,这就覆

9、盖所有0元素的最少直线数。令这一直线数为l。若ln,说明必须再换当前的系数矩阵,才能找到n个独立的0元素,为此转到第四步;若l=n,而mn,应回到(2)(4)另行试探。,第四步;在没有被直线覆盖的部分中找出最小元素。然后在行打行每个元素减去这一最小元素,而在打列的每个元素都加上这一最小元素,以保证原来0元素不变。这样得到新系数矩阵。若得到n个独立的0元素,则已得到最优解,否则回到第三步。,上面矩阵有5个独立0元素,这就得到相应的最优解。,-2,-2,+2,或,解矩阵得到2个最优指派方案;(1)甲-B,乙-C,丙-E,丁-D,戊-A;(2)甲-B,乙-D,丙-E,丁-C,戊-A。所需时间为min

10、z=7+6+9+6+4=32,非标准型的指派问题:,匈牙利法的条件是:模型求最小值、效率,c,ij,0,。,当遇到各种非标准形式的指派问题时,处理方法是先将其转化为标准形式,,1,、人数和事数不相等的指派问题:人少事情多,虚拟“人”,做各事的费用系数为,0,;人多事情少,虚拟“事”,各人做的费用系数为,0,。,2,、对于求极大化的问题,只要系数矩阵变换为,B,(,m-c,ij,),nn,,仍可利用匈牙利算法进行求解。,3,、一个人可以做几件事情的指派问题:可以将该人化作相同的几个“人”来接受指派,费用一样。,4,、某事一定不能由某人做的指派问题,费用系数为“,M”,然后用匈牙利法来求解。,14,请各位老师和同学批评指导!,

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