最优捕鱼问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,资料仅供参考,不当之处，请联系改正。,1,微分方程简介,2,传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数,(,病人,),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(,足以使人致病,),人数为,模型,1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),建模,?,模型,2,区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),假设,1,）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为,2,）每个病人每天有效接触人数为,且,使接触的健康人致病,建模,日,接触率,SI,模型,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,传染病高潮到来时刻,(,日接触率,),t,m,Logistic,模型,病人可以治愈！,?,t=t,m,di,/,dt,最大,模型,3,传染病无免疫性,病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3,）病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,。,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内,有效接触感染的健康者人数不超过病人数,1-1/,i,0,模型,2(SI,模型,),如何看作模型,3(SIS,模型,),的特例,i,di/dt,0,1,1,0,t,i,1,1-1/,i,0,t,1,di,/,dt,0,模型,4,传染病有免疫性,病人治愈后即移出感染系统，称,移出者,SIR,模型,假设,1,）总人数,N,不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2,）病人的日接触率,日,治愈率,接触数,=/,建模,需建立 的两个方程,模型,4,SIR,模型,无法求出,的解析解,在相平面 上,研究解的性质,模型,4,消去,dt,SIR,模型,相轨线 的定义域,相轨线,1,1,s,i,0,D,在,D,内作相轨线 的图形，进行分析,s,i,1,0,1,D,模型,4,SIR,模型,相轨线 及其分析,传染病蔓延,传染病不蔓延,s,(,t,),单调减,相轨线的方向,P,1,s,0,i,m,P,1,:,s,0,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,模型,4,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,(,日接触率,),卫生水平,(,日,治愈率,),医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值,1/,降低,(=,/,),群体免疫,模型,4,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,s,0,i,0,P,1,i,0,0,s,0,1,小,s,0,1,提高阈值,1/,降低,被传染人数比例,x,s,0,-,1/,=,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,第一次世界大战,Lanchester,提出预测战役结局的模型,3,战争模型,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为,u,(,t,),v,(,t,),f,g,取决于战争类型,xt,),甲方兵力，,y,(,t,),乙方兵力,模型假设,模型,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f,(,x,y,)=,ay,a,乙方每个士兵的杀伤率,a,=,r,y,p,y,r,y,射击率，,p,y,命中率,0,正规战争模型,为判断战争的结局，不求,x,(,t,),y,(,t,),而在相平面上讨论,x,与,y,的关系,平方律 模型,乙方胜,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,忽略非战斗减员,假设没有增援,f,(,x,y,)=,cxy,c,乙方每个士兵的杀伤率,c,=,r,yp,y,r,y,射击率,p,y,命中率,p,y,=s,ry,/,s,x,s,x,甲方活动面积,s,ry,乙方射击有效面积,0,游击战争模型,线性律 模型,0,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须,10,倍于甲方的兵力,设,x,0,=100,r,x,/,r,y,=1/2,p,x,=0.1,s,x,=1(km,2,),s,ry,=1(m,2,),再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发,在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在,捕捞量稳定,的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，,渔场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定。,背景,4,最优捕鱼问题,产量模型,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从,Logistic,规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解,x,(,t,),只需知道,x,(,t,),稳定的条件,r,固有增长率,N,最大鱼量,h,(,x,)=,Ex,E,捕捞强度,x,(,t,),渔场鱼量,一阶微分方程的平衡点及其稳定性,一阶非线性（自治）方程,F,(,x,)=0,的根,x,0,微分方程的,平衡点,设,x,(,t,),是方程的解，若从,x,0,某邻域的任一初值出发，都有,称,x,0,是方程,(1),的,稳定平衡点,不求,x,(,t,),判断,x,0,稳定性的方法,直接法,(1),的近似线性方程,产量模型,平衡点,稳定性判断,x,0,稳定,可得到稳定产量,x,1,稳定,渔场干枯,E,捕捞强度,r,固有增长率,产量模型,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大,图解法,P,的横坐标,x,0,平衡点,P,的纵坐标,h,产量,产量最大,f,与,h,交点,P,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,y=rx,h,P,x,0,h,m,x,0,*,=,N,/2,P,*,y=E,*,x,y,0,y=h,(,x,),=Ex,x,N,y=f,(,x,),效益模型,假设,鱼销售价格,p,单位捕捞强度费用,c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大,.,稳定平衡点,求,E,使,R,(,E,),最大,渔场鱼量,收入,T,=,ph,(,x,)=,pEx,支出,S,=,cE,E,s,S,(,E,),T,(,E,),0,r,E,捕捞过度,封闭式捕捞,追求利润,R,(,E,),最大,开放式捕捞,只求利润,R,(,E,)0,R,(,E,)=0,时的捕捞强度,(,临界强度,),E,s,=2,E,R,临界强度下的渔场鱼量,捕捞过度,E,R,E,*,令,=0,