根轨迹绘制例题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.4,控制系统根轨迹绘制示例,规则,180,o,等相角根轨迹,0,o,等相角根轨迹,连续性、对称性和分支数,根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。其分支数等于开环有限零点和极点数目中的大者。,同左,起点和终点,起始于开环极点，终止于开环零点,同左,渐进线,条数：,n-m,同左,与实轴交点,：,同左,与实轴夹角,：,实轴上根轨迹,若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为奇数，则该点是根轨迹上的点,若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为偶数（包括,0,），则该点是根轨迹上的点,4.4,控制系统根轨迹绘制示例,分离,(,会合,),点,分离（会合）点为方程,:,的根,同左,分离（回合）点处的根轨迹增益,：,同左,出射、入射角,出射角,：,出射角：,入射角,：,入射角,：,与虚轴的交点,令,s=,jw,，带入闭环特征方程求,w,和,kg,。或用劳斯判据求临界稳定时的闭环特征根。,同左,闭环特征根之和与之积,同左,根据上述根轨迹绘制规则，可以画出控制系统完整的根轨迹图。应当指出的是，并不是每一个系统的根轨迹绘制都要全部使用上述基本规则。根据系统的不同，有时只使用部分规则就可以绘制出完整的根轨迹。,手工绘制控制系统根轨迹的步骤,:,标注开环极点,“”,和零点,“”；,确定根轨迹的分支数；,确定实轴上的根迹区间；,确定,n-m,条渐进线；,计算分离,(,会合,),点；,计算极点处的出射角和零点处的入射角；,计算根轨迹与虚轴的交点；,利用前几步得到的信息绘制根轨迹。,4.4,控制系统根轨迹绘制示例,例,4.3.1,已知反馈控制系统的特征方程是,试绘制当,k,g,从,0,变化时的根轨迹。,解：,根据要求，采用,180,o,等相角根轨迹绘制规则进行绘制,。,系统的根轨迹方程为,：,系统的开环极点和零点为：,根轨迹的分支数：,根轨迹有两条分支，分别起始于开环极点,-p,1,，,-p,2,处，终止于开环零点,-z,1,，,-z,2,处。,实轴上的根轨迹区间为：,-4,，,0,根轨迹的渐近线：开环极点与开环零点的数目相同，该根轨迹没有渐进线。,分离（会合）点：令,代入方程,有,：,s,1,=-1.24,是根轨迹的会合点，,s,2,=3.24,不是根轨迹上的点，应该舍去，即根轨迹没有分离点。会合点对应的根轨迹增益为：,出射角：,先求开环极点,-p,1,处的出射角。画出各个开环零点和极点（除了,-p,1,）到,-p,1,的向量，并标出每个向量的相角，分别为,a,1,a,2,b,1,。,出射角为,：,根轨迹与虚轴的交点,：,系统的闭环特征方程为,：,劳斯阵列如下,：,由于,k,g,0,，,劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：,实轴上根轨迹区间是：,-2,，,0,。,渐进线倾角,：,与实轴的交点为：,例,4.3.2,系统的开环传递函数为,：,试绘制系统的根轨迹。,标出四个开环极点：,0,，,-2,，,-3,j4,。有四条根轨迹,。,解：,对于本例系统的根轨迹，题目中没有指明,k,g,的取值范围。通常，没有特别指明,k,g,的范围时，按,180,o,根轨迹绘制规则进行绘制。,-,3+4j,处的出射角,q,1,：,根据对称性，可知,-3-j4,处的出射角 为：,与虚轴的交点：闭环特征方程为：,劳斯阵为,：,当,劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时,，。,辅助方程为,：，,解得共轭虚根为,：,即为根轨迹与虚轴的交点。,会合点与分离点（重根点）：分离角为由 得：,由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：,我们知道，分离点在负实轴,-2,，,0,区间上，所以当,s,在实数范围内变化时，最大时为分离点。,6.28,11.49,15.59,18.47,20.0,20.01,18.28,14.57,8.58,-2.0,-1.8,-1.6,-1.4,-1.2,-1.0,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,s,可见分离点约为,-0.8,。,绘制根轨迹，如下图所示。,-4,-3,-2,-1,0,1,2,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,Real Axis,Imag,Axis,例,4.3.3,已知负反馈控制系统的开环传递函数为,：,试画出当,-k,g,+,时的根轨迹,。,解：,1,当,0,k,g,+,时，绘制,180,o,等相角根轨迹。,系统的开环极点和零点分别为,：,根轨迹的分支数：根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点,，,终止于开环零点 和无穷远处。,实轴上的根轨迹区间为,(-,，,-3,，,-1,，,0,渐近线：由于开环极点数,-,开环零点数,=1,，所以根轨迹有一条渐进线,。,渐进线的倾角为,：,与实轴的交点为,：,分离（会合）点,：,由式,可求得,：,在根轨迹上，是会合点,。,不在根轨迹上，应该舍去。,根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为：,将,s=,j,w,代入其中并整理得,：,解得,2,当,k,g,0,时，绘制,0,o,等相角根轨迹。,实轴上的根轨迹区间为：,-3,，,-1,和,0,，,+),渐近线：开环极点数,-,开环零点数,=1,，则该根轨迹有一条渐进线。渐进线的倾角为：,分离（会合）点：计算方法如,1,。,s=-6.65,不在根轨迹上，应该舍去。,s=-1.35,是会合点。,根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程,:,劳斯阵列中没有全为零的行。故根轨迹与虚轴没有交点。,例,4.3.4,：,系统结构如图所示，绘制以,为参变量的根轨迹，并讨论速度反馈对系统阶跃响应的影响。,-,-,解,：,先求等效开环传递函数。,此时系统特征方程为,令 ，等效开环传函为,画参量根轨迹开环极点为,5.4,、,0.3,j1.292,，,开环零点为。,渐近线：,出射角,：,讨论,*,=0,，,此时闭环极点为等效开环极点，即,5.4,、,0.3,j1.292,，,此时,=5.4/0.3=18,，,可看作二阶系统。,=0.226,，,%=48.2%,，,t,s,=10s,*,=5.375,，,此时闭环极点为,4,、,1,j1.17,，,此时,=4/1=4,，,若看作二阶系统则：,=0.65,，,%=6.8%,，,t,s,=3s,*,=7.75,，,此时闭环极点为,2,、,2,j0.866,，,此时,=2/2=1,，,已不能看作二阶系统。,*,=9.5,，,此时闭环极点为,-0.5604,、,-2.7198+j3.0910,，,-2.7198-j3.0910,此时可看作一阶系统。,例,4.3.5,设控制系统的方块图如图所示，试绘制系统的根轨迹。,解,将系统的方块图作等效变换，如下图所示。,其开环传递函数为：,上式具有公因子,s+1,，可以互相抵消。抵消后的开环传递函数为：,按照公因子抵消前后绘制的根轨迹是不同的，抵消后的系统特征方程的阶次下降一次。这时的根轨迹图不能表示闭环特征方程的全部根，只能表示抵消化减后的特征方程的根。,为了得到全部的闭环极点，必须将开环传递函数,G,k1,(s),中抵消掉的极点，加到从开环传递函数,G,k2,(s),根轨迹图中得到的闭环极点中去。特别地，从,G,k1,(s),中抵消掉的极点是系统的闭环极点，这可以从下图中看出。,因此，在遇到系统开环传递函数有零、极点相抵消的情况时，可先根据相抵消后的开环传递函数绘制出根轨迹，然后在根轨迹图中补充相抵消的零、极点。,例,6,设控制系统开环传递函数为,试作闭环根轨迹。,例,7,单位正反馈系统的开环传递函数为,试绘制根轨迹。,小结,手工绘制,180,度根轨迹的步骤；,手工绘制,0,度根轨迹的步骤；,参量跟轨迹的绘制步骤；,180,度根轨迹和,0,度根轨迹的关系。,