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上页,下页,返回,第三章 第四节,.4递推公式,将母函数 分别对,x,和,t,求导,有,由,(3.4.1),和,(3.4.2),分别得,由,(3.4.3),和,(3.4.4),得,所以,把（3.4.7)、(3.4.8)代入（,3.4.3,）得,比较 的系数得,比较,t,的系数得,把(3.4.7)、(3.4.8)代入（,3.4.5,）得,比较 的系数得,即,把(3.4.6)、(3.4.8)代入（,3.4.4,）得,比较 的系数得,所以,即,联系 自身之间的递推公式，由,可推出 ，,由 ，,可推出,不难证明,n,阶勒让德多项式 是,n,阶勒让德方程的一个特解，即方程,当,l,为正整数,n,时（包括零），存在一个闭区间,-1,，,1,上为有界的解,而另外一个与其线性无关的解仍为无穷级数解，记为 ，它在闭区间,-1,，,1,上无界，方程通解为:,A,、,B,为任意常数，为,n,阶第二类勒让德函数。,
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