1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,应变分析,点的,应变状态,应变与位移的关系,几何方程,应变张量与应变参量,应变协调方程,位移：,M,M,N,N,s,s+u,线变形：,u,平均线应变：,线应变：,M,N,L,M,N,L,角应变（切应变）：,2-1 一点的应变状态,位移分量：,线变形分量：,u、,v,、,w,(x,y,z),拉伸为正，压缩为负。,角应变（切应变）分量：,直角减小为正,一点的应变状态,z,x,y,o,u,v,w,一点的应变状态：,知道一点的六个独立的应变分量：,任一方向的应变即可确定，主应变也可确定，一点的应变情况就完全确定了，
2、称这一点的应变情况总体为应变状态。,2-2 应变与位移的关系,几何方程,x,y,o,P,A,B,dx,dy,u,v,P,A,B,A,a,b,xy,a+b,x,y,几何方程,平面问题的几何方程：,柱坐标下的几何方程：,x,y,o,r,d,q,平面问题极坐标下的几何方程：,轴对称问题的几何方程：,u,x,y,o,r,v=0,u=u(r),球对称问题的几何方程：,v/r,v/r,v,2-3 应变张量与应变参量,一、应变张量,引入符号：,e,xy,e,yx,e,yz,e,zy,e,zx,e,xz,应变分量,e,x,、,e,y,、,e,z,、,e,xy,、,e,yz,、,e,zx,满足张量的性质，构成应
3、变张量。,一点的应变状态完全由应变张量确定,任一方向上的正应变：,主应变：,二、应变张量的分解,用主应变表示应变偏量：,当体积不变量：,三、应变参量及计算公式,与三个应变主轴方向具有相同倾角平面上的剪应变,1.主剪应变,2.八面体剪应变,3.应变强度（等效应变）,4.应变,Lode,参数,常见应力状态的应变,Lode,参数,单向拉伸：,e,e,e,2,e,3,-0.5e,e,1,e,单向压缩：,e,e,e,1,e,2,0.5e,e,3,e,纯剪切：,e,1,，,s,2,0，e,3,0.5e,0.5e,四、应变率,单位时间内应变值的增量。,应变率分量：,五、应变增量,在变形过程中，物体内各点都处
4、于运动状态，某一时刻,t,，速度分量为：,这些位移引起的应变称为应变增量。,速度分量是x,y,z,t,的函数，在无限小时段内各点产生的位移为：,应变增量张量：,应变增量强度（等效应变增量）,六、对数应变,当应变较大时，考虑一截面积为,A,0,、,长为,l,0,的杆，受力后长为,l,，,截面积为,A,，,当杆伸长,dl,时，应变增量为：,对数应变,积分得：,工程应变：,截面收缩率：,由体积不可压缩得：,2-4 应变协调方程（相容方程）,变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出现裂纹或发生重叠现象。,为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在某种关系，描述这种关系的数学表达式就是,应变协调方
5、程。,A,B,C,D,A,B,C,D,设物体中某点,P(x,y,z),，,位移分量为：,u,v,w,。,应变分量为：,几何方程：,应变协调方程（相容方程）,物理意义：,如将变形体分解为许多单元体，每个单元体的变形可用六个应变分量表示，,若应变分量不满足应变协调方程，则单元体不能组成一连续体。,若满足，则可保证变形前后物体是连续的。,利用应变协调方程可检验给定的应变状态是否为可能存在的？也可确定应变分量中的待定系数。,平面问题的应变协调方程,极,坐标：,轴对称平面问题的应变协调方程,例,1,：,P,70,2,2,解：平面应变问题,存在,例,2,：试判断下列应变状态是否为可能存在的。,解：空间应变问题，,应变分量均为坐标的一次函数，,而应变协调方程均为二阶导数，故存在。,例,3,：,P,71,2,4,解,：（1）是否满足应变协调方程,满足,（2）求位移分量的表达式。,例,3,：,P,71,2,4,（2）求位移分量的表达式。,例,3,：,P,71,2,4,（2）求位移分量的表达式。,由位移边界条件确定。,例,3,：,P,71,2,4,（3）,由位移边界条件确定待定常数。,无变形：,刚体水平位移,刚体铅垂位移,刚体转动角速度,刚体转动角速度,x,y,o,x,y,r,a,u,v,u,r,a,w,例,4,：已知位移分量,求：应变张量并分解、应变强度。,解：,作业：,21,23,25,
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