断裂力学复习题(实际)解答(课件).doc

断裂力学复习题
1．裂纹按几何特征可分为三类,分别是（穿透裂纹）、（表面裂纹）和（深埋裂纹）。按力学特征也可分为三类，分别是（张开型）、（滑开型）和（撕开型）。
2．应力强度因子是与（外载性质）、（裂纹）及（裂纹弹性体几何形状）等因素有关的一个量。材料的断裂韧度则是（应力强度因子）的临界值，是通过（实验）测定的材料常数。
3．确定应力强度因子的方法有：（解析法），（数值法），（实测法）。
4．受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板，具有长度为2a的中心贯穿裂纹，求应力强度因子的表达式。

【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：
① 当y = 0，x → ∞时，；
② 在y = 0，的裂纹自由面上，；而在时，随，。
可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为
（1）
将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有
z =ζ+a或ζ= z－a，
代入（1），可得：

于是有：

5．对图示“无限大”平板Ⅱ型裂纹问题，求应力强度因子的表达式。

【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：
① 当y = 0，x → ∞时，；
② 在y = 0，的裂纹自由面上，；而在时，随，。
可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为
（1）
将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有
z =ζ+a或ζ= z－a，
代入（1），可得：
于是有：

6．对图示“无限大”平板Ⅲ型裂纹问题，求应力强度因子的表达式。

【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：
① 当y = 0，x → ∞时，；
② 在y = 0，的裂纹自由面上，；而在时，随，。
可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为
（1）
将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有
z =ζ+a或ζ= z－a，
代入（1），可得：
于是有：

7．“无限大”平板中，在长度为2a的中心贯穿裂纹表面上，距裂纹中点为x=±b处各作用一对集中力p，求应力强度因子的表达式。

【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为：
（1）
可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件：
① 在z→∞处，；
②在；
③ 如果切出xy坐标系第一象限的薄平板，在x轴所在的截面上，内力的总和应该等于劈开力p，即=p（其中，t是薄平板的厚度）
将坐标原点移到裂纹右尖端后，新坐标为，代入（1）式得：

于是有：

8．在“无限大”平板的裂纹表面上，从的这两部分裂纹面上，受均匀分布的张力p作用，试求裂纹尖端应力强度因子的表达式。（不讲）

【解】取微分段dx，其上作用的张力为dp=pdx，利用距裂纹中点为x=±b处各作用一对集中力p时应力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为

于是有： （1）
令，代入（1）式可得

9．在“无限大”平板的裂纹表面上，从的这两部分裂纹面上，受均匀分布的张力p作用，试求裂纹尖端应力强度因子的表达式。

【解】取微分段dx，其上作用的张力为dp=pdx，利用利用距裂纹中点为x=±b处各作用一对集中力p时应力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为

于是有： （1）
令，代入（1）式可得

10．试用迭加原理求如图所示裂纹问题的裂尖应力强度因子的表达式。

（a） （b）
【解】该受力图可以看成是图（a）和图（b）两种受力情况的线性迭加。而图（b）构件的受力与裂纹表面平行，因此它所对应的应力强度因子=0，因此，原图构件的应力强度因子与图（a）的应力强度因子相等。前面已经求得图（a）的应力强度因子为，因此，原图构件的应力强度因子为

11．中心具有穿透裂纹的厚板条（平面应变情况），远端承受均匀拉伸作用，板的宽度为200mm，裂纹长度为80mm，板的材料为铝合金，其=38MN／m3/2，计算此板条的临界载荷。
【解】这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽板条拉伸问题，其应力强度因子为

式中的α为几何形状因子，经查表得

式中的a为裂纹半长度，W为板宽。
裂纹处于临界状态时所作用的应力就是构件的临界载荷，设其为，将代入的表达式，并令

得
于是有

这就是说，在所给条件下，当板的拉伸应力达到时，裂纹发生失稳扩展。
12．某种合金钢在不同回火温度下，测得性能如下：
275°回火时，MN／m3/2；
600°回火时，MN／m3/2。
设应力强度因子为，且工作应力为。试求两种温度下构件的容限裂纹尺寸a，并确定选用哪种材料较好。
【解】当时，对应的裂纹尺寸a就是容限裂纹尺寸，记为。此时有，于是得：

当275°回火时，
，
当600°回火时，
。
从强度指标看这种合金钢275°回火温度略优于600°回火温度，但从断裂韧性指标来看， 600°回火温度比275°回火温度好得多。事实上，构件中mm的裂纹是难以避免的，因此从全面考虑，应选600°的回火温度。

13．要设计一个高强度材料的压力容器，设计许用应力[σ]=1400MN/，采用的无损探伤设备只能发现大于1mm深度的裂纹。因此可以假定容器内壁焊缝热影响区沿母线方向（这是最不利的位置和最不利方向）存在深度a = 1mm，长度c=2a的表面浅裂纹。现有A、B两种材料，其屈服极限分别为2100MN/和1700MN/；其焊缝热影响区的平面应变断裂韧度分别为MN／m3/2和MN／m3/2。全面考虑，应选择哪一种材料？
【解】从静强度分析：
材料A的强度储备为
材料B的强度储备为
两种材料均满足强度要求，但A材料强度储备高于B材料。
从断裂力学的观点分析：所给的问题可以理想化为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸应力作用的情况，其应力强度因子可写为

式中的α为几何形状因子，查表可得，考虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区，α可修正为

式中，为第二类完整椭圆积分。可查表得到。
取许用应力[σ]作为容器的工作应力，也就是取σ=[σ]=1400MN/，则

由此可见，本问题中选择B材料比选择A材料优越，它既满足强度要求，又有合适的抗断裂能力。如果此时仅按传统设计思想而不从断裂力学的观点分析，选用A种材料，必然会导致容器低应力脆断。

14．简述用有限单元法计算应力强度因子的方法。
（1）位移法

有限元位移法计算裂尖K因子

无限大平板上的Ⅰ型裂纹的裂尖处的位移分量为：

当时，应有： （1）
其中，
G是材料的剪切弹性模量。
用有限元法可以得出裂纹尖端区域线上r不同的一些结点的位移值u，将各点的r和u值分别代入（1）式，就可得到这些结点对应的不同的应力强度因子，称为各结点的表观应力强度因子。即：

将各点的作为纵坐标，将各点的r作为横坐标，把这些点画在直角坐标系中，然后用最小二乘法拟合，绘出最佳直线，然后将这条直线外推到r=0处，与纵坐标轴相交所得的截距M，就是裂纹尖端的值。
（b）应力法
“无限大”平板的Ⅰ型裂纹裂尖处沿y轴的应力为

在线上各点沿y轴的应力为
（1）
用有限元法可以得出裂纹尖端区域线上r不同的一些结点的，将各点的r和值分别代入（1）式，得到这些结点对应的表观应力强度因子为：

与位移法类似，将有限元法算得的线上各点的作为纵坐标，将各点的r作为横坐标，把这些点画在直角坐标系中，然后用最小二乘法拟合，绘出最佳直线，然后将这条直线外推到r=0处，与纵坐标轴相交所得的截距M，就是裂尖的值。

15．简述用光弹性法测应力强度因子的方法。
对于Ⅰ型裂纹，在裂尖附近处的应力分量为

由材力中的应力圆知识可得

而由平面应力~光学定律可得：

其中 n~光弹性模型上被测点处的等差线条纹级数；
f~光弹性材料的材料条纹值（N/m.条）；
h~光弹性试件的厚度(m)。
以上各式联立得： （1）

Ⅰ型裂纹等差线条纹图 —r曲线
通过平面光弹性实验可以得到等差线条纹图，由该图可测得任意一个点，例如i点对应的极坐标及其条纹级次，而f和h均可由实验测得，将、代入（1）式，可得该点对应的表观应力强度因子，沿某一固定角度θ测出一系列点的，分别代入（1）式，就可以得到一系列，将这一系列实验数据画在—r座标系中，然后用回归法拟合出最佳—r曲线，再外推至r = 0处，就可得到。即

16．线弹性断裂力学的断裂判据与材料力学的强度条件有何异同?
答：线弹性断裂力学的断裂判据为：
（i = Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）
其中，Ki叫i型裂纹的应力强度因子。它们反映了i型裂纹尖端应力场的强弱程度。是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。
而KiC是Ki的临界值，称为材料的断裂韧度，是材料常数，通过实验测定。
材料力学的强度条件为：
其中，σ叫工作应力。它反映了构件某点应力场的强弱程度。是与外载大小、方向、作用点及构件几何形状等因素有关的一个量。
而是σ的临界值，称为材料的屈服极限，是材料常数，通过实验测定。
两者的相同之处是：
（1）形式类似。都是以某量达到临界值的形式表述的；且该量都与外载性质及弹性体几何形状有关。而临界值都是材料常数。
（2）临界值和都通过实验测定。
两者的差别是：
材料力学的强度条件是在材料为无缺陷的均匀连续体的前提下得到的，它没有考虑构件中存在的各种缺陷，因此，按强度条件设计的构件在许多情况下并不安全。
而线弹性断裂力学的断裂判据则考虑了构件中的缺陷造成的应力集中，是从裂纹的平衡、扩展和失稳规律出发得到的，因此，按断裂判据设计的构件更符合实际情况。
17．和有何不同?
答：KⅠ叫Ⅰ型裂纹的应力强度因子。它们反映了Ⅰ型裂纹尖端应力场的强弱程度。是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。
而KⅠC是KⅠ的临界值，称为材料的断裂韧度，是材料常数，通过实验测定。
相应的应力强度因子断裂判据为：
其物理意义是：
当裂纹的应力强度因子＜材料的断裂韧度时，系统处于静止状态，裂纹不扩展；
当裂纹的应力强度因子＞材料的断裂韧度时，裂纹失稳扩展，直至断裂；
当裂纹的应力强度因子=材料的断裂韧度时，裂纹处于不稳定平衡状态。

18．高强度铝合金厚板，中心具有长度为80mm的穿透裂纹，板的宽度为200mm，在垂直于裂纹方向受到均匀拉伸作用。当裂纹发生失稳扩展时，施加的拉伸应力=100MN／m2，试计算：
（1）材料的断裂韧性值?
（2）当板为“无限大”时，断裂失效应力为多少?
（3）当板的宽度为120mm时，断裂失效应力又为多少?
【解】（1）这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽板条拉伸问题，其应力强度因子为

式中的α为几何形状因子，经查表得

式中的a为裂纹半长度，W为板宽。
令，代入的表达式，得
MN／m3/2。
（2）当板为“无限大”时，断裂失效应力为

（3）当板的宽度为120mm时，断裂失效应力为：

19．高硅的镍铬钼钢，回火温度与材料的屈服极限和断裂韧度的关系如下表。设构件存在表面半椭圆裂纹，深度a=2mm，裂纹的深长比=0.25，构件在垂直于裂纹平面的远方受拉应力=1100MN/m2作用，取安全系数n=1.2，试选择回火温度。

【解】从静强度分析：
回火温度℃
275
500
600
屈服极限 MN/m2
1780
1390
1500
断裂韧度 MN／m3/2
50
64
96

回火温度为275℃时的强度储备为：
，
回火温度为500℃时的强度储备为：
，
回火温度为600℃时的强度储备为：

三种回火温度均满足强度要求，但275℃时的强度储备高于其它两种温度。
从断裂力学的观点分析：所给的问题可以理想化为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸应力作用的情况，其应力强度因子可写为

式中的α为几何形状因子，查表可得，考虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区，α可修正为

式中]，为第二类完整椭圆积分。可查表得到。
取σ=[σ]=1100MN/，则
；
；
；

由此可见，只有选择600℃的回火温度，才能使材料既满足强度要求，又满足抗断裂要求。

21．薄壁圆筒壁厚为t，直径为D，承受内压力p，在筒壁上有一与轴向成45°倾斜的贯穿直裂纹，裂纹长度为10mm，试确定：
（1）裂尖应力场强度因子KⅠ和KⅡ；
（2）距裂尖均为0.1mm的A、B和C三点处的应力分量、和。

【解】取如图所示直角坐标系，则

，
对Ⅰ型裂纹有：
对Ⅱ型裂纹有：
对A点有：θ=0°，代入上两式得：
对Ⅰ型裂纹有：

对Ⅱ型裂纹有：

由叠加原理得：

对B点有：θ=45°，代入上两式得：
对Ⅰ型裂纹有：
对Ⅱ型裂纹有：
由叠加原理得：

对C点有：θ=90°，代入上两式得：
对Ⅰ型裂纹有：
对Ⅱ型裂纹有：
由叠加原理得：

22．“无限大”平板中有一贯穿裂纹，在裂纹中心的上下表面上，作用着一对集中力P，如图所示，试求应力强度因子的表达式。

【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为：
（1）
可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件：
① 在z→∞处，；
② 在；
③ 如果切出xy坐标系第一象限的薄平板，在x轴所在的截面上，内力的总和应该满足=（其中，t是薄平板的厚度）。
将坐标原点移到裂纹右尖端后，新坐标为，代入（1）式得：

于是有：

23．“无限大”平板中有一贯穿裂纹，在裂纹表面，从x=－a1到x=+a1这一段裂纹面上，受均匀分布的力P的作用，如图所示，试求应力强度因子的表达式。

【解】取微分段dx，其上作用的张力为dp=pdx，则这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为

于是有： （1）
令，代入（1）式可得

24．有一圆筒形压力容器，材料的强度极限=620MPa，断裂韧性= 40MN／m3/2，容器沿纵向有一长度为2a = 4mm的等效贯穿裂纹，设容器的内径为D，壁厚为t，试求此容器的极限压强pc。

（a） （b） （c）
【解】其横截面上的轴向拉伸应力为：
，
其纵向截面上的拉伸应力为：
，
∵
∴强度条件为：，
取等号得：=620，
解得极限压强为：pc1=MPa。
而这个二向应力状态可以看成是图（b）和图（c）两种受力情况的线性迭加。而图（c）构件的受力与裂纹表面平行，因此它所对应的应力强度因子=0，因此，图（a）构件的应力强度因子与图（b）的应力强度因子相等。而图（b）的应力强度因子为，因此，图（a）构件的应力强度因子也为
，
断裂判据为： ，
即 = 40，
解得极限压强为：
pc2 =MPa。
∴极限压强为min{ pc1，pc2}=MPa。
25．图示裂纹长2a = 17.5mm，θ = 35°，σ = 640MPa，τl = 360MPa，试求值．

【解】在xyz坐标系内，应力分量为：。换算到坐标系内，换算关系为

其中，分别是与x轴夹角的余弦，分别是与y轴夹角的余弦，分别是与z轴夹角的余弦。

代入上式后得：
只与有关，只与有关，只与有关，所以有：
；
；

26．“无限大”平板内的贯穿裂纹表面上，作用着一对力P，其方向如图，试求其应力强度因子的表达式。

【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为：
（1）
可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件：
① 在z→∞处，；
② 在；
③ 如果切出x轴上面的薄平板，在x轴所在的截面上，内力的总和应该满足=（其中，t是薄平板的厚度）。
将坐标原点移到裂纹右尖端后，新坐标为，代入（1）式得：

于是有：

将x轴翻转180°，则力P作用点的横坐标是－b，于是应力函数为
（2）
将坐标原点移到裂纹左尖端，新坐标为，
代入（1）式得：

于是有：

27．一根受扭矩Mn作用的圆管，平均半径为R，壁厚为t，在圆管上有长为20的斜裂纹，且与管轴线（纵向线）的夹角为β，试确定其裂尖应力强度因子。

【解】取如图所示直角坐标系xoy，则。
，
，
。
，

28．火箭发动机外壳用高强度钢制作，材料=1500MN，=1700MN，筒体内半径与壁厚之比R／t =110，在进行打压试验时，当压力P=65kg／cm2时爆炸，从裂片分析该壳体焊接处存在如图所示的半椭圆形表面裂纹，2c=10mm，a=2mm，焊缝处材料=55.78MN／m3/2。试从常规强度观点和断裂力学观点对此爆炸原因作出解释。

【解】取如图所示直角坐标系xoy，则

按最大拉应力理论，应该有，而，所以，构件是安全的。
按最大剪应力理论，应该有
，
而，所以，构件是安全的。
按断裂力学的理论，所给的问题可以理想化为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸应力作用的情况，其应力强度因子可写为

式中的α为几何形状因子，查表可得，考虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区，α可修正为

式中]，为第二类完整椭圆积分。可查表得到。
取，则

由此可见，爆炸原因是裂纹的扩展和失稳引起的。
29．“无限大”薄平板，受双向拉应力作用，板中铆钉孔边上有一裂纹，如图所示，已知2==180MPa，R = 25mm，a = 5mm，材料的= 800MPa，= 130MN／m3/2，试分别计算进行塑性修正前后的应力强度因子值，若要求安全系数n = 2.5,试问此结构是否安全。

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