工程力学(静力学与材料力学)-6-圆轴扭转.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,School of Life and Environmental Science,第6章,圆轴扭转,工程力学,（静力学与材料力学）,第二篇 材料力学,杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。,第6章,圆轴扭转,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析,与强度设计,圆杆扭转时的变形及刚度条件,工程中承受扭转的圆轴,外加扭力矩、扭矩与扭矩图,结论与讨论,剪应力互等定理 剪切胡克定律,第6章,圆轴扭转,返回总目录,工程中承受扭转的圆轴,第6章,圆轴扭转,返回,请判断哪一杆件,将发生扭转？,当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。,工程中承受扭转的圆轴,第6章,圆轴扭转,工程中承受扭转的圆轴,第6章,圆轴扭转,请判断哪一杆件,将发生扭转？,连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。,工程中承受扭转的圆轴,第6章,圆轴扭转,外加扭力矩、扭矩与扭矩图,第6章,圆轴扭转,返回,外加扭力矩、扭矩与扭矩图,第6章,圆轴扭转,作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率,P,和转递n,，则传动轴所受的外加扭力矩,M,e,可用下式计算：,其中,P,为功率，单位为千瓦（kW）；,n,为轴的转速，单位为转/分（r/min）。,如果功率,P,的单位用马力（1马力=735.5 N,m/s），则,外加扭力矩、扭矩与扭矩图,第6章,圆轴扭转,外加扭力矩,M,e,确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩,M,e,作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（,twist moment,），用,M,x,表示。,n,M,e,M,e,M,x,M,e,M,x,+,外加扭力矩、扭矩与扭矩图,第6章,圆轴扭转,外加扭力矩,M,e,确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩,M,e,作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（,twist moment,），用,M,x,表示。,M,e,M,e,M,e,M,x,_,n,M,x,如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。,扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为,扭矩图,(diagram of torsion moment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。,外加扭力矩、扭矩与扭矩图,第6章,圆轴扭转,当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。,例题,1,圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为,N.m,，尺寸单位为,mm,。,试：,画出圆轴的扭矩图。,外加扭力矩、扭矩与扭矩图,第6章,圆轴扭转,解：,1,确定控制面,外加力偶处截面,A,、,B,、,C,、,D,均为控制面。,2,应用截面法，,由平衡方程,确定各段圆轴内的扭矩,。,外加扭力矩、扭矩与扭矩图,第6章,圆轴扭转,3,建立,M,x,x,坐标系，画出扭矩图,建立,M,x,x,坐标系，其中,x,轴平行于圆轴的轴线，,M,x,轴垂直于圆轴的轴线。,将所求得的各段的扭矩值，标在,M,x,x,坐标系中，得到相应的点，过这些点作,x,轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。,外加扭力矩、扭矩与扭矩图,第6章,圆轴扭转,剪应力互等定理 剪切胡克定律,第6章,圆轴扭转,返回,第6章,圆轴扭转,剪应力互等定理 剪切胡克定律,考察承受剪应力作用的微元体，假设作用在微元左、右面上的剪应力为,，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。,为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力,，二者与其作用面积相乘后形成一对力，组成另一力偶。为保持微元的平衡，这两个力偶的力偶矩必须大小相等，方向相反。,x,y,z,d,x,d,y,d,z,第6章,圆轴扭转,剪应力互等定理 剪切胡克定律,微元能不能平衡？,哪些力互相平衡？,怎样才能平衡？,第6章,圆轴扭转,剪应力互等定理 剪切胡克定律,x,y,z,d,x,d,y,d,z,怎样才能平衡？,根据力偶平衡理论,第6章,圆轴扭转,剪应力互等定理 剪切胡克定律,x,y,z,d,x,d,y,d,z,剪应力成对定理,在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是,剪应力成对定理,（pairing principle of shear stresses）。,第6章,圆轴扭转,剪应力互等定理 剪切胡克定律,O,剪切胡克定律,当在弹性范围内加载时，剪应力与剪应变成正比:,这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数,G,称为材料的切变模量。,圆轴扭转时横截面上的,剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,返回,应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,平面假定,物性关系,静力方程,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,确定横截面上剪应力,的方法与过程,平面假定,变形协调方程,物性关系剪切胡克定律,静力学方程,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,平面假定,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称为平面假定。,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,变形协调方程,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在d,x,长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,设到轴线任意远,处的剪应变为,（,），则从图中可得到如下几何关系：,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,物性关系剪切胡克定律,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,O,剪切胡克定律,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,静力学方程,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,式中,GI,P,扭转刚度；,I,P,横截面的极惯性矩。,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,圆轴扭转时横截面上的,剪应力表达式,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,最大剪应力,W,p,扭转截面模量。,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,截面的极惯性矩与,扭转截面模量,=,d,/,D,对于直径为,d,的实心圆截面,对于内、外直径分别为,d,和,D,的,圆环截面,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,受扭圆轴的强度设计准则,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力,max,限制在一定的数值以下，即：,这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的强度条件。,受扭圆轴的强度设计准则,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,为许用剪应力；,max,是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；,对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩,M,x,和相应扭转截面模量,W,P,的,数值综合考虑才能确定。,已知：,P,7.5kW,n,=100r/min,最大切应力,不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比,=0.5,。二轴长度相同,。,例 题,2,求:,实心轴的直径,d,1,和空心轴的外直径,D,2,；确定二轴的重量之比。,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,解：,首先根据轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,解：,对于空心轴，则有,算得,d,2,0.5,D,2,=23 mm,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,解：,确定实心轴与空心轴的重量之比,空心轴,D,2,46 mm,d,2,23 mm,实心轴,d,1,=45 mm,在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,已知：,P,1,14kW,n,1,=,n,2,=120 r/min,z,1,=36,z,3,=12;,d,1,=70mm,d,2,=50mm,d,3,=35mm.,求:,各,轴,横截面上的最大切应力,。,3,例 题,3,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,P,1,=14kW,P,2,=,P,3,=,P,1,/2=7 kW,n,1,=,n,2,=120r/min,3,解：,计算各轴的功率与转速,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,M,x1,=,T,1,=1114 N.m,M,x2,=,T,2,=557 N.m,M,x3,=,T,3,=185.7 N.m,3,解：,计算各轴的扭矩,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,3,解：,计算各轴的横截面上的最大切应力,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为,G,1,和,G,2,，且,G,1,2,G,2,。圆轴尺寸如图所示。,圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的剪应力分布，有图中（,A）,、（,B）,、（,C）,、（,D）,所示的四种结论，请判断哪一种是正确的？,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,例 题,4,解：,圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,例 题,4,解：,因此，在里、外层交界处二者具有相同的剪应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量,（,G,1,2,G,2,）,，所以内层在二者交界处的剪应力一定大于外层在二者交界处的剪应力。据此，答案,（A）,和,（B）,都是不正确的。,例 题,4,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,解：,在答案（,D,）中，外层在二者交界处的剪应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的剪应变不为零，根据剪切胡克定律，剪应力也不可能等于零。,例 题,4,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计,第6章,圆轴扭转,根据以上分析，正确答案是（C）。,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,返回,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,受扭圆轴的相对扭转角圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角,沿轴线方向积分，得到,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,受扭圆轴的相对扭转角,对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：,对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为,：,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,单位长度的相对扭转角,在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭转角为：,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,受扭圆轴的刚度设计准则,为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。,扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：,对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,受扭圆轴的刚度设计准则,其中，,为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定。例如，精密机械的轴,(0.250.5)(,),m,；一般传动轴,(0.51.0)(,),m,；刚度要求不高的轴,2（,）,m,。,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,受扭圆轴的刚度设计准则,需要注意的是：,刚度设计中要注意单位的一致性。上式不等号左边的单位为rad/m；而右边通常所用的单位为(,)m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用radm，则必须在不等式右边乘以（180）；若两边均采用(,)m，则必须在左边乘以（180）。,钢制空心圆轴的外直径,D,100 mm，内直径,d,50 mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1.5,，材料的剪切弹性模量,G,80.4 GPa。,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,例 题,5,解：,1,确定轴所能承受的最大扭矩,根据刚度设计准则，有,1.,求该轴所能承受的最大扭矩；,2.确定此时轴横截面上的最大剪应力。,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,例 题,5,解：,1,确定轴所能承受的最大扭矩,根据刚度设计准则，有,由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为,空心圆轴截面的极惯性矩,轴所能承受的最大扭矩为,圆杆扭转时的变形及刚度条件,第6章,圆轴扭转,例 题,5,轴所能承受的最大扭矩为,9.688,10,3,N.m,9.688 kN.m,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,返回,圆轴强度与刚度设计的一般过程,关于公式的应用条件,开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,圆轴强度与刚度设计的一般过程,根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。,应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。,根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。,计算危险截面上的最大剪应力或单位长度上的相对扭转角。,根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核，设计轴的直径以及确定许用载荷。,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,需要指出的是，工程结构与机械中有些传动轴都是通过与之连接的零件或部件承受外力作用的。这时需要首先将作用在零件或部件上的力向轴线简化，得到轴的受力图。在这种情形下，圆轴将同时承受扭转与弯曲，而且弯曲可能是主要的。这一类圆轴的强度设计比较复杂。,圆轴强度与刚度设计的一般过程,此外，还有一些圆轴所受的外力(大小或方向)随着时间的改变而变化。这些问题将在以后的章节中介绍。,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,关于公式的应用条件,扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：,1.必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调公式,将不再成立。,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,关于公式的应用条件,2.材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载，只有这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立：,二者结合才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结论，才会得到反映作用力分布的剪应力公式，即,结论与讨论,第6章,圆轴扭转1.变形特征翘曲,扭转后，横截面将不再保持平面。,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,2.由平衡直接得到的结论,角点切应力等于零；,边缘各点切应力沿切线方向。,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,3.剪应力分布与剪应力公式,角点切应力等于零;,边缘各点切应力沿切线方向;,最大切应力发生在长边中点。,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,长边中点处,短边中点处,3.剪应力分布与剪应力公式,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,h,厚度,4.狭长矩形截面,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,结论与讨论,第6章,圆轴扭转,