第八讲模煳数学简介.ppt

模糊数学简介,模糊数学(Fuzzy mathematics,弗晰数学)是解决模糊性问题的数学分支.这里所谓的“模糊”是相对于“明晰”而言的,而所谓的“明晰”即非此即彼.明晰数学数学的基础是经典集合论:一个元素,a,要么属于集合,A,要么要么属于,A,的余集,二者必居其一.但是并非所有的现象和概念都象经典集合论这样“明晰”,有许多概念没有明确的界限,特别是在人类的思维与语言中，例如:高矮、胖瘦、美丑等.模糊数学的出现与计算机智能模拟密切相关.,1965年,美国加利福尼亚大学自动控制专家L.A.Zadeh第一次提出了模糊性问题,从不同于经典数学的角度,研究数学的基础集合论,给出了模糊概念的定量表示方法,发表了著名的论文“模糊集合”(Fuzzy sets).这篇论文的问世,标志着模糊数学的诞生.,随着研究的深入,模糊数学的内容日益丰富,其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技术的很多领域,取得了很多重要成果,例如:模糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等.,L.A.Zadeh是美国工程科学院,院士,1921年2月出生在前苏联,的阿塞拜疆,1942年毕业于伊,朗的德黑兰大学,1949年获美,国哥伦比亚大学电机工程博士,学位,现任伯克利加利福尼亚,大学电机工程与计算机科学系教授,曾多次在一些大学和公司做访问研究,其中包括MIT和IBM实验室.,他的著名论文,L.A.Zadeh,Fuzzy sets,Information and control,1965,8(3):338-353.,第一章 模糊集合,1.1 经典集合,经典集合的元素彼此相异,即无重复性,并且边界分明,即一个元素,x,要么属于集合,A,(记作,x,A,),要么不属于集合(记作,x,A,),二者必居其一.,集合,A,的特征函数：,0-1律：,A,X,=,X,，,A,X,=,A,；,A,=,A,，,A,=,；,还原律：,(,A,c,),c,=,A,；,对偶律：,(,A,B,),c,=,A,c,B,c,，,(,A,B,),c,=,A,c,B,c,；,排中律：,A,A,c,=,X,，,A,A,c,=,其中,X,为全集，,为空集集合运算的特征函数表示,这里表示取大运算,表示取小运算.,集合的笛卡儿积：,X,Y,=(,x,y,)|,x,X,y,Y,.,映射,f,:,X,Y,二元关系,X,Y,的子集,R,称为从,X,到,Y,的,二元关系,特别地，当,X,=,Y,时，,称之为,X,上的,二元关系,.二元关系简称为,关系,.,若,(,x,y,),R,则,称,x,与,y,有,关系，记为,R,(,x,y,)=1,；,若,(,x,y,),R,则,称,x,与,y,没有,关系，记为,R,(,x,y,)=0.,映射,R,:,X,Y,0,1实际上是,X,Y,的子集,R,上的特征函数.,关系的矩阵表示法,设,X,=,x,1,x,2,x,m,Y,=,y,1,y,2,y,n,R,为从,X,到,Y,的,二元关系，记,r,ij,=,R,(,x,i,y,j,)，,R,=(,r,ij,),m,n,，,则,R,为布,尔矩阵(,Boole matrix,)，,称为,R,的关系矩阵.布,尔矩阵是元素只取,0或1,的矩阵.,关系的合成,设,R,1,是,X,到,Y,的关系,R,2,是,Y,到,Z,的关系,则,R,1,与,R,2,的合成,R,1,R,2,是,X,到,Z,上的一个关系.,(,R,1,R,2,)(,x,z,)=,R,1,(,x,y,),R,2,(,y,z,)|,y,Y,关系合成的矩阵表示法,设,X,=,x,1,x,2,x,m,Y,=,y1,y,2,y,s,Z,=,z,1,z,2,z,n,且,X,到,Y,的关系,R,1,=(,a,ik,),m,s,，,Y,到,Z,的关系,R,2,=(,b,kj,),s,n,，,则,X,到,Z,的关系可表示为矩阵形式：,R,1,R,2,=(,c,ij,),m,n,，,其中,c,ij,=,(,a,ik,b,kj,)|1,k,s,R,1,R,2,称为矩阵的布尔乘积,.,例,设,X,=1,2,3,4,Y,=2,3,4,Z,=1,2,3,R,1,是,X,到,Y,的关系,R,2,是,Y,到,Z,的关系,R,1,=(,x,y,)|,x,+,y,=6,=(2,4),(3,3),(4,2),R,2,=(,y,z,)|,y,z,=1,=(2,1),(3,2),(4,3),则,R,1,与,R,2,的合成,R,1,R,2,=(,x,z,)|,x,+,z,=5,=(2,3),(3,2),(4,1),.,等价关系：,设,R,为,X,上的,关系,如果满足,(1),自反性,：,X,中的任何元素都与自己有,关系，即,R,(,x,x,)=1；,(2),对称性,：对,X,中的两个元素,x,y,若,x,与,y,有关系,则,y,与,x,有关系,即若,R,(,x,y,)=1,，则,R,(,y,x,)=1,；,(3),传递性,：对于,X,中的三个元素,x,y,z,，,若,x,与,y,有关系，,y,与,z,有关系，则,x,与,z,有关系，即若,R,(,x,y,)=1,R,(,y,z,)=1，,则,R,(,x,z,)=1,.,则称,R,为,X,上的等价,关系.,设,R,为,X,上的等价,关系.如果(,x,y,),R,即,x,与,y,有关系,R,则记为,x,y,.,集合上的等价类,设,R,是,X,上的等价,关系，,x,X,.定义,x,的等价类：,x,R,=,y,|,y,X,y,x,.,集合的分类,设,X,是非空集合，,X,i,是,X,的非空子集族，若,X,i,=,X,，且,X,i,X,j,=,(,i,j,)，,则称集合族,X,i,是集合,X,的一个分类.,(1)对任意,x,X,，,x,R,非空；,(2)对任意,x,y,X,，若,x,与,y,没有关系,R,，则,x,R,y,R,=,；,(3),X,=,x,X,x,R,.,定理,集合,X,上的等价,关系,R,可以确定,X,的一个分类.即,证明:(1)由于,R,具有自反性，所以,x,x,R,即,x,R,非空.,(2)假设,x,R,y,R,取,z,x,R,y,R,，则,z,与,x,有关系,R,，,z,与,y,也有关系,R,.由于,R,具有对称性，所以,x,与,z,有关系,R,，,z,与,y,也有关系,R,.又由于,R,具有传递性，,x,与,y,也有关系,R,.这与题设矛盾.,(3)显然.,1.2 模糊集合及其运算,模糊集合与隶属函数,设,X,是全集(或论域)，称映射A,：,X,0,1,确定了一个,X,中的,模糊子集,A,，,A,(,x,),称为,A,的,隶属函数,，它表示,x,对,A,的隶属程度.,当映射,A,(,x,),只取0或1时，模糊子集,A,就是经典子集，而,A,(,x,),就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,模糊集合的表示,设,X,是全集，,A,(,x,),是模糊集合,A,的隶属函数.如果,X,是有限集合或可数集合,则将模糊集合,A,表示为,如果,X,是无限不可数集合,则将模糊集合,A,表示为,X,中的所有模糊子集记为,F,(,X,),显然,F,(,X,),2,X,.,例,设论域,X,=,x,1,(140),x,2,(150),x,3,(160),x,4,(170),x,5,(180),x,6,(190)(,单位：,cm),表示人的身高，如果,X,中模糊集合,A,=“高个子”,的隶属函数,A,(,x,),定义为,则,A,表示为,例,设论域,X,=0,100,表示年龄的集合，,X,中模糊集合,A,=“年老”,和,B,=“年轻”,的隶属函数,可分别,定义为,x,1,A,(,x,),x,1,B,(,x,),A,=“年老”,B,=“年轻”,例,设,X,中元素是各种单连通凸区域,x,以光滑的封闭曲线为边界,用,l,表示边界的周长,S,表示区域的面积,模糊集合,A,=“圆的程度”,可定义,A,的隶属函数为,常用的隶属函数,1),S,型函数,(偏大型隶属函数),x,1,a,b,(2),Z,型函数,(偏小型隶属函数),x,1,a,b,(3)型函数,(中间型隶属函数),x,1,b,-,a,b,+,a,b,模糊子集的运算,相等：,A,=,B,A,(,x,),=,B,(,x,),；,包含：,A,B,A(,x,)B(,x,),；,并：,A,B,的隶属函数为,(,A,B,),(,x,),=,A,(,x,),B,(,x,),；,交：,A,B,的隶属函数为,(,A,B,),(,x,),=,A,(,x,),B,(,x,),；,余：,A,c,的隶属函数为,A,c,(,x,),=1,-,A,(,x,),.,例,设论域,X,=,x,1x,2,x,3,x,4,x,5,(商品集),在,X,中定义两个模糊集:,A,=“商品质量好”,B,=“商品质量差”,并设,则,A,c,=“商品质量不好”,B,c,=“商品质量不差”.,可见,A,c,B,B,c,A.,并且,模糊子集的运算性质除了排中律以外与经典集合的运算性质一致,即,A,A,c,=,X,，,A,A,c,=,不一定成立.模糊子集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,设,A,是论域,X,中一个模糊集合,0,1,称集合,1.3 模糊集的分解定理,A,=,x,|,A,(,x,),为,A,的水平集(或,截集).,模糊集,A,的,水平集,A,是一个经典集合,由论域中隶属度不小于,的元素构成.,显然,A,0,=,X,.,(1),A,B,A,B,；,(2),A,A,；,(3)(,A,B,),=,A,B,，,(,A,B,),=,A,B,.,水平集的性质,设,A,B,是两个模糊子集,0,1,于是,模糊集的分解定理,设,A,是一个模糊子集,则 即,A,(,x,)=,|,0,1，,x,A,.,证明 因为,所以,注,模糊集的分解定理给出了模糊集合与经典集合之间的关系.,1.4 模糊矩阵,若0,r,ij,1，则称矩阵,R,=(,r,ij,),m,n,为,模糊矩阵,.,显然布尔矩阵是模糊矩阵的特殊形式.,当模糊方阵,R,=(,r,ij,),n,n,的对角线上的元素,r,ii都为1时，称,R,为,模糊自反矩阵,.,设,A,=(,a,ij,),m,n,B,=(,b,ij,),m,n,都,是模糊矩阵.,A,=,B,a,ij,=,b,ij,；,A,B,a,ij,b,ij,；,A,B,=(,a,ij,b,ij,),m,n,；,A,B,=(,a,ij,b,ij,),m,n,；,A,c,=(1,-,a,ij,),m,n,.,有限论域中的模糊集合可以表示为模糊矩阵.,模糊矩阵的并、交、余运算性质,幂等律：,A,A,=,A,，,A,A,=,A,；,交换律：,A,B,=,B,A,，,A,B,=,B,A,；,结合律：(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),(,A,B,),C,=A,(,B,C,)；,吸收律：,A,(,A,B,)=,A,，,A,(,A,B,)=,A,；,分配律：,(,A,B,),C,=(,A,C,),(,B,C,)；,(,A,B,),C,=(,A,C,),(,B,C,)；,0-1,律：,A,O,=,A,，,A,O,=,O,；,A,E,=,E,，,A,E,=,A,；,还原律：,(,A,c,),c,=,A,；,对偶律：,(,A,B,),c,=,A,c,B,c,(,A,B,),c,=,A,c,B,c,.,模糊矩阵的乘积,设,A,=(,a,ik,),m,s,，,B,=(,b,kj,),s,n,，定义模糊矩阵,A,与,B,的乘积为：,A,B,=(,c,ij,)m,n,，,其中,c,ij,=,(,a,ik,b,kj,)|1,k,s,.,模糊方阵的幂,若,A,为,n,阶方阵,定义,A,2,=,A,A,A,3,=,A,2,A,，,，,A,k,=,A,k,-,1,A,.,(,A,B,),C,=,A,(,B,C,)；,A,k,A,l,=,A,k+l,，(,A,m,),n,=,A,mn,；,A,(,B,C,)=(,A,B,),(,A,C,)；,(,B,C,),A,=(,B,A,),(,C,A,)；,O,A,=,A,O,=,O,，,I,A,=,A,I,=,A,；,A,B,，,C,D,A,C,B,D.,模糊矩阵乘积运算的性质,注：乘积运算关于,的分配律不成立，即A,B,),C,(,A,C,),(,B,C,),模糊矩阵的转置,设,A,=(,a,ij,),m,n,称,A,T,=(,a,ij,T,),n,m,为,A,的转置矩阵，其中,a,ij,T,=,a,ji,.,转置运算的性质,(,A,T,),T,=,A,；,(,A,B,),T,=,A,T,B,T,，,(,A,B,),T,=,A,T,B,T,；,(,A,B,),T,=,B,T,A,T,；(,A,n,),T,=(,A,T,),n,；,(,A,c,),T,=(,A,T,),c,；,A,B,A,T,B,T,.,模糊矩阵的,截矩阵,设,A,=(,a,ij,),m,n,对任意的,0,1，称,A,=(,a,ij,(,),),m,n,为模糊矩阵,A,的,截矩阵,其中,当,a,ij,时，,a,ij,(,),=1；当,a,ij,时，,a,ij,(,),=0.,显然,A,的,截矩阵为布尔矩阵.,A,B,A,B,；,(,A,B,),=,A,B,，,(,A,B,),=,A,B,；,(,A,B,),=,A,B,；,(,A,T,),=(,A,),T,.,设,A,=(,a,ij,),m,s,B,=(,b,ij,),s,n,A,B,=,C,=(,c,ij,),m,n,c,ij,(,),=1,c,ij,(,a,ik,b,kj,),存在,k,(,a,ik,b,kj,),存在,k,a,ik,b,kj,存在,k,a,ik,(),=,b,kj,(,),=1,(,a,ik,(,),b,kj,(,),)=1;,c,ij,(,),=0,c,ij,(,a,ik,b,kj,),k,(,a,ik,b,kj,),k,a,ik,或,b,kj,k,a,ik,(,),=0或,b,kj,(,),=0,(,a,ik,(,),b,kj,(,),)=0.,所以,c,ij,(,),=,(,a,ik,(,),b,kj,(,),).,证明(,A,B,),=,A,B,1.5 模糊关系,设论域,X,，,Y,，,X,Y,的一个模糊子集,R,称为从,X,到,Y,的,模糊关系.,模糊子集,R,的隶属函数为映射,R,:,X,Y,0,1.,并称隶属度,R,(,x,y,)为(,x,y,)关于模糊关系,R,的相关程度.,特别地，当,X,=,Y,时，,称之为,X,上各元素之间的,模糊关系.,模糊关系的运算,由于,模糊关系,R,就是,X,Y,的一个模糊子集,因此模糊关系同样具有模糊子集,的运算及性质.设,R,R,1,R,2,均为从,X,到,Y,的,模糊关系.,相等：,R,1,=,R,2,R,1,(,x,y,),=,R,2,(,x,y,),；,包含：,R,1,R,2,R,1,(,x,y,),R,2,(,x,y,),；,并：,R,1,R,2,的隶属函数为,(,R,1,R,2,),(,x,y,),=,R,1,(,x,y,),R,2,(,x,y,),；,交：,R,1,R,2,的隶属函数为,(,R,1,R,2,),(,x,y,),=,R,1,(,x,y,),R,2,(,x,y,),；,余：,R,c,的隶属函数为,R,c,(,x,y,),=1,-,R,(,x,y,),.,(,R,1,R,2,),(,x,y,),表示,(,x,y,),对模糊关系“,R,1,或者,R,2,”的相关程度,(,R,1,R,2,),(,x,y,),表示,(,x,y,),对模糊关系“,R,1,且,R,2,”的相关程度,R,c,(,x,y,),表示,(,x,y,),对模糊关系“非,R,”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域,X,=,x,1,x,2,x,m,和,Y,=,y,1,y2,y,n,则,X,到,Y,模糊关系,R,可用,m,n,阶模糊矩阵表示，即,R,=(,r,ij,),m,n,，其中,r,ij,=,R,(,x,i,y,j,)0,1,表示,(,x,i,y,j,),关于模糊关系,R,的相关程度.,如果,R,为布尔矩阵时,则关系,R,为普通关系,即,x,i,与,y,j,之间要么有关系(,r,ij,=1),要么没有关系(,r,ij,=0).,设,R,1,是,X,到,Y,的关系,R,2,是,Y,到,Z,的关系,则,R,1,与,R,2,的复合,R,1,R,2,是,X,到,Z,上的一个关系:,(,R,1,R,2,)(,x,z,)=,R,1,(,x,y,),R,2,(,y,z,)|,y,Y,.,当论域为有限时,模糊关系的合成可表示为模糊矩阵的乘积.,模糊关系的合成,设,X,=,x,1,x,2,x,m,Y,=,y,1,y,2,y,s,Z,=,z,1,z,2,z,n,且,X,到,Y,的模糊关系,R,1,=(,a,ik,),m,s,Y,到,Z,的模糊关系,R,2,=(,b,kj,),s,n,则,X,到,Z,的模糊关系可表示为模糊矩阵的乘积：,R,1,R,2,=(,c,ij,),m,n,，,其中,c,ij,=,(,a,ik,b,kj,)|1,k,s,.,在有限论域情况下,模糊关系合成的性质就是模糊矩阵乘积运算的性质.值得注意的是模糊关系合成关于,的分配律不成立.,模糊等价关系,若,X,上的,模糊关系,R,满足：,(1)自反性:,R,(,x,x,)=1,即,I,R,(,r,ii,=1,);,(2)对称性:,R,(,x,y,)=,R,(,y,x,),即,R,T,=,R,(,r,ij,=,r,ji,);,(3)传递性:,R,2,R,即,R,2,R,.,则称,模糊关系,R,是,X,上,的一个,模糊等价关系.,当论域,X,=,x,1,x,2,x,n,为有限时,X,上的一个,模糊等价关系的矩阵,R,称为,模糊等价矩阵,即,R,是主对角线元素是1的对称矩阵,且,R,2,R,(,(,r,ik,r,kj,)|1,k,n,r,ij,),.,定理1,若,R,具有自反性(,I,R,),和传递性(,R,2,R,),则,R,2,=,R,.,证明,I,R,R,R,R,R,2,R,2,=,R,.,定理2,若,R,是模糊等价矩阵,则,对任意,0,1，,R,是等价的Boole矩阵.,证明(1)自反性：,I,R,0,1,I,R,0,1,I,R,；,(2)对称性,：,R,T,=,R,(,R,T,),=,R,(,R,),T,=,R,;,(3)传递性,：,R,2,R,(,R,2,),R,(,R,),2,R,.,定理3,若,R,是模糊等价矩阵,则对任意的0,1,R,所决定的分类中的每一个类是,R,决定的分类中的某个类的子类.,证明 对于论域,X,=,x,1,x,2,x,n,，若,x,i,x,j,按,R,分在一类，则有,r,ij,(,),=1,r,ij,r,ij,r,ij,(,),=1，,即若,x,i,x,j,按,R,也分在一类.,所以，,R,所决定的分类中的每一个类是,R,决定的分类中的某个类的子类.,模糊相似关系,若,X,上模糊关系,R,满足：,(1)自反性:,R,(,x,x,)=1,即,I,R,(,r,ii,=1,);,(2)对称性:,R,(,x,y,),=,R,(,y,x,),即,R,T,=,R,(,r,ij,=,r,ji,).则称,R,是,X,的一个,模糊相似关系.,当论域,X,=,x,1,x,2,x,n,为有限时,X,上的一个,模糊相似关系的矩阵,R,称为,模糊相似矩阵即,R,是主对角线元素是1的对称矩阵.,定理4,若,R,是模糊相似矩阵,则对任意的正整数,k,R,k,也是模糊相似矩阵.,定理5,若,R,是,n,阶模糊相似矩阵，则存在一个最小正整数,k,(,k,n,),对于一切大于,k,的正整数,l,恒有,R,l,=,R,k,即,R,k,是模糊等价矩阵(,R,2,k,=,R,k,).此时称,R,k,为,R,的传递闭包,记作,t,(,R,)=,R,k,.,上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.,1.6 模糊映射与模糊变换,设论域,X,Y,.映射,f,:,X,F,(,Y,)称为从,X,到,Y,的,模糊映射,.例如,X,=,x,1,x,2,Y,=,y,1,y,2,y,3,那么下面的,f,和,g,都是,从,X,到,Y,的模糊映射.,X,到,Y,的一个模糊映射,f,可唯一确定,X,到,Y,的一个模糊关系,R,f,;,X,到,Y,的一个模糊关系,R,可唯一确定,X,到,Y,的一个模糊映射,f,R,.,有时在不发生混淆的情况下,不区分模糊关系和模糊影射.,若,映射,T,将,X,的一个模糊子集,A,映射到,Y,的,一个模糊子集,B,则称,映射,T,为从,X,到,Y,的,模糊变换,.若模糊变换,T,满足,(1),T,(,A,B,)=,T,(,A,),T,(,B,),(2),T,(,A,)=,T,(,A,),则称,T,为,模糊线性变换,.,设X,=,x,1,x,2,x,n,Y,=,y,1,y,2,y,m,则对任意的,X,到,Y,的模糊关系,R,都可以确定,X,到,Y,的模糊线性变换,T,R,(,A,)=,A,R,.,模糊变换的意义是论域的转换.,例,设,X,=,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,Y,=,y,1,y,2,y,3,y,4,X,到,Y,的模糊关系,R,为,如果,A,=,x,1,x,2,如果 于是,T,R,(,B,)=(0.5,0.6,0.9,1,0),R,=(0.6,1,0.4,0.5),T,R,(,A,)=(1,1,0,0,0),R,=(1,0.3,0,1),于是,第一章 完,第二章 模糊决策,2.1 模糊集中意见决策,为了对论域,X,=,x,1,x,2,x,n,中的元素进行排序,由,m,个专家组成专家小组,M,分别对,X,中的元素排序,得到,m,种意见：,V,=,v,1,v,2,v,m,其中,v,i,是第,i,种意见序列,即,X,中的元素的某一个排序.,若,x,j,在第,i,种意见,v,i,中排第,k,位,设第,k,位的权重为,a,k,，则令,B,i,(,x,j,)=,a,k,(,n,k,)，称,若,x,j,在第,i,种意见,v,i,中排第,k,位,则令,B,i,(,x,j,)=,n,k,称,为,x,j,的,Borda,数.论域,X,的所有元素可按,Borda,数的大小排序.,为,x,j,的加权Borda数.,例,设,X,=,a,b,c,d,e,f,|,M,|=,m,=4人,v,1,:,a,c,d,b,e,f,;,v,2,:,e,b,c,a,f,d,;,v,3,:,a,b,c,e,d,f,;,v,4,:,c,a,b,d,e,f,.,B,(,a,)=5+2+5+4=16;,B,(,b,)=2+4+4+3=13;,B,(,c,)=4+3+3+5=15;,B,(,d,)=3+0+1+2=6;,B,(,e,)=1+5+2+1=9;,B,(,f,)=0+1+0+0=1;,按Borda数集中后的排序为：,a,c,b,d,e,f,.,例,设6名运动员,X,=,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,参加五项全能比赛,他们每项比赛的成绩如下：,200m,x,1,x,2,x,4,x,3,x,6,x,5,；,1500m,x,2,x,3,x,6,x,5,x,4,x,1,；,跳远,x,1,x,2,x,4,x,3,x,5,x,6,；,掷铁饼,x,1,x,2,x,3,x,4,x,6,x,5,；,掷标枪,x,1,x,2,x,4,x,5,x,6,x,3,.,B,(,x,1,)=5+0+5+5+5=20;,B,(,x,2,)=4+5+4+4+4=21;,B,(,x,3,)=2+4+2+3+0=11;,B,(,x,4,)=3+1+3+2+3=12;,B,(,x,5,)=0+2+1+0+2=5;,B,(x,6,)=1+3+0+1+1=6.,按Borda数集中后的排序为：,x,2,x,1,x,4,x,3,x,6,x,5,.,名次,一,二,三,四,五,六,权重,0.35,0.25,0.18,0.11,0.07,0.04,B,(,x,1,)=7,B,(,x,2,)=5.75,B,(,x,3,)=1.98,B,(,x,4,)=1.91,B,(,x,5,)=0.51,B,(,x,6,)=0.75.,按加权Borda数集中后的排序为：,x,1,x,2,x,3,x,4,x,6,x,5,如果考虑加权Borda数排序,设权重为,设论域,X,=,x,1,x,2,x,n,为,n,个被选方案,在,n,个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化,然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.,在,x,i,与,x,j,作对比时,用,r,ij,表示,x,i,比,x,j,的优先程度,并且要求,r,ij,满足,r,ii,=1；0,r,ij,1；,当,i,j,时,r,ij,+,r,ji,=1.,2.2 模糊二元对比决策,这样的,r,ij,组成的矩阵,R,=(,r,ij,),n,n,称为,模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.,模糊二元对比决策的方法与步骤,建立模糊优先关系:,两两进行比较，建立模糊优先矩阵.,排序方法：,隶属函数法,对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到,X,中模糊优先集,A,的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.,通常采用的方法,取小法：,A,(,x,i,)=,r,ij,|1,j,n,i,=1,2,n,;,平均法：,A,(,x,i,)=(,r,i,1,+,r,i,2,+,r,in,)/,n,i,=1,2,n,.,截矩阵法,对阈值,0,1,给出,截矩阵,R,=(,r,ij,(,),),n,n,.当,由1逐渐减小时,若,R,中第,k,行首次出现元素全等于1时,则取,x,k,为第一优先对象(不一定唯一).再在,R,中划去,x,k,所在的行与列,得到一个新的,n,-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取第二优先对象如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.,下确界法,先求模糊优先矩阵,R,每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的,x,k,为第一优先对象(不一定唯一).再在,R,中划去,x,k,所在的行与列,得到一个新的,n,-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.,2.3 模糊综合评判决策,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是,综合评判,.,模糊综合评判决策的数学模型,设,X,=,x,1,x,2,x,n,为,n,种因素(或指标),V,=,v,1,v,2,v,m,为,m,种评判(或等级).,由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重,A,=(,a,1,a,2,a,n,)来描述,它是,论域,X,的一个模糊子集.对于每一个因素,x,i,单独作出的一个评判,f,(,x,i,),可看作是,X,到,V,的一个模糊映射,f,由,f,可诱导出,X,到,V,的一个模糊关系,R,f,由,R,f,可诱导出,X,到,V,的一个模糊线性变换,T,R,(,A,)=,A,R,=,B,它是评判集,V,的一个模糊子集,即为综合评判.,(,X,V,R,)构成模糊综合评判决策模型,X,V,R,是此模型的三个要素.,模糊综合评判决策的方法与步骤,建立因素集,X,=,x,1,x,2,x,n,与评判集,V,=,v,1,v,2,v,m,.,建立模糊综合评判矩阵.,对于每一个因素,x,i,先建立单因素评判：,(,r,i,1,r,i,2,r,im,),即,r,ij,(0,r,ij,1)表示,v,j,对因素,x,i,所,作的评判,这样就得到单因素评判矩阵,R,=,(,r,ij,),n,m,.,综合评判.,根据各因素权重,A,=(,a,1,a,2,a,n,)综合评判:,B,=,A,R,=(,b,1,b,2,b,m,)是,V,上的一个模糊子集,根据运算的不同定义,可得到不同的模型.,模型,：,M,(,)-主因素决定型,b,j,=(,a,i,r,ij,),1,i,n,(,j,=1,2,m,),由于综合评判的结果,b,j,的值仅由,ai,与,r,ij,(,i,=1,2,n,)中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果,影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.,模型,：,M,(,)-主因素突出型,b,j,=(,a,i,r,ij,),1,i,n,(,j,=1,2,m,),M,(,)与模型,M,(,)较接近,区别在于用,a,i,r,ij,代替了,M,(,)中的,a,i,r,ij,.,在模型,M,(,)中,对,r,ij,乘以小于1的权重,a,i,表明,a,i,是在考虑多因素时,r,ij,的修正值,与主要因素有关,忽略了次要因素.,模型,：,M,(,)-,主因素突出型,b,j,=(,a,ir,ij,)(,j,=1,2,m,),模型也突出了主要因素.,在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳,当模型失效时可采用,.,模型,：,M,(,)-,加权平均模型,b,j,=(,a,i,r,ij,)(,j,=1,2,m,),模型,M,(,),对所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.,例,服装评判.,因素集,X,=,x,1,(花色),x,2,(式样),x,3,(耐穿程度),x,4,(价格),评判集,V,=,v,1,(很欢迎),v,2,(较欢迎),v,3,(不太欢迎),v,4,(不欢迎).,对各因素所作的评判如下：,x,1,:,(0.2,0.5,0.2,0.1),x,2,:,(0.7,0.2,0.1,0),x,3,:,(0,0.4,0.5,0.1),x,4,:(0.2,0.3,0.5,0),对于给定各因素权重,A,=(0.1,0.2,0.3,0.4),分别用各种模型所作的评判如下：,M,(,)：,B,=(0.2,0.3,0.4,0.1),M,(,)：,B,=(0.14,0.12,0.2,0.03),M,(,)：,B,=(0.5,0.9,0.9,0.2),M,(,)：,B,=(0.24,0.33,0.39,0.04),模糊综合评判矩阵,第二章 完,