4.2相似矩阵.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 相似矩阵,一、相似矩阵的概念,定义,4.2,设,A,、,B,都是,n,阶矩阵，如果存在非奇异矩阵,P,，使得,P,1,AP,B,我们称,A,与,B,相似。记为,“,A,B,”,；,P,称为,A,与,B,相似的变换矩阵。,显然，相似矩阵有如下简单性质：,（,）,A,A,（只需取,P,I,）,（,）,如,A,B,，则必有,B,A,证明：因为,A,B,，所以存在可逆矩阵,P,，有,P,1,AP,B,所以,A,PBP,1,即,A,(P,1,),1,B(P,1,),即是,B,A,（,）,如,A,B,，,B,C则必有,A,C,。,证明,:,因为,A,B,B,C,，所以存在可逆矩阵,P,1,、,P,2,P,1,1,AP,1,B,，,P,2,1,BP,2,C,所以有,P,2,1,（,P,1,1,AP,1,）,P,2,C,即有 （,P,1,P,2,）,1,A,（,P,1,P,2,）,C,所以,A,C,二、相似矩阵的性质,n,阶矩阵,A,与,B,如果相似，则它们会有许多共同之处。,性质,1,.,如,A,B,，则,A,与,B,有相同的特征值。,证明：,A,B,，则存在可逆矩阵,P,有,P,1,AP,B,所以,|I,B|,|I,P,1,AP|,|P,1,（,I,A,）,P|,|P,1,|I,A|P|,|I,A|,即,A,与,B,的特征方程相同,A,与,B,有相同的特征值。,性质,2,.,如,A,B,，则,A,与,B,的秩相同。,证明：,A,B,，则存在可逆矩阵,P,有,P,1,AP,B (1),由于,P,可逆，可设,P,T,1,T,2,T,s,(T,i,为初等矩阵,),代人（,1,）得,（,T,1,T,2,T,s,）,1,A,（,T,1,T,2,T,s,）,B,T,s,-1,T,s-1,-1,T,2,1,T,1,-1,A,（,T,1,T,2,T,s,）,B,即,A,经过,2s,次初等变换可变成,B,，所以必有,秩,A,秩,B,性质,3,.,如,A,B,，则,A,B,证明：,A,B,，则存在可逆矩阵,P,有,P,1,AP,B,所以有,B,P,1,AP,|P,1,|A|P|,|A|,性质,4,.,如,A,B,，则,A,与,B,的奇异性相同（利用性质,3,可得此结论）,例,1.,已知三阶矩阵,A,与,B,相似，,A,的特征值为,1,、,2,、,3,，求矩阵,B,2,2B,的特征值。,解：,A,与,B,相似，则,B,的特征值也为,1,、,2,、,3,由上节例,3,知,B,2,-2B,的特征值为,1,、,0,、,3,。,例,2.,设,n,阶矩阵,A,与,B,相似，证明,A,2,-A,与,B,2,-B,相似。,证明：,A,与,B,相似。则存在可逆矩阵,P,，有,P,-1,AP,B,所以,B,2,P,-1,AP)(P,-1,AP),P,-1,A,2,P,可得,P,1,(A,2,A)P,P,1,A,2,P,P,1,AP,B,2,B,因此可得,A,2,A,与,B,2,B,相似。,矩阵与对角矩阵相似的条件,一,.,判定定理,.n,阶矩阵,A,与对角矩阵相似的充分必要条件是,A,有,n,个线性无关的特征向量。（记,P,为,A,的特征向量组成的矩阵，对角矩阵,是由,P,的列对应的特征值组成的对角矩阵，则有,P,1,AP,，即,A,）,.,证明：（,i,）,必要性,如果,A,与对角矩阵,相似，则存在可逆矩阵,P,有,P,1,AP,可得,AP,P,设,P,(X,1,X,2,X,n,),其中,X,i为,P,的第,i,列,由于,P,可逆，显然,X,1,X,2,X,n,线性无关。,下证,X,i,为特征向量,再设,又,AP=A(X,1,X,2,X,n,)=,（,AX,1,AX,2,AX,n,）,由,AP=P,得：（,AX,1,AX,2,AX,n,）,=,（,1,X,1,2,X,2,n,X,n,）,进而可得：,AX,i,=,i,X,i,(i =1,2,n),所以,X,1,X,2,X,n,是,A,的,n,个线性无关的特征向量。,(ii),充分性,设,A,有,n,个线性无关的特征向量,X,1,X,2,X,n,，它们依次对应的特征值分别为,1,2,n,，,则有,AX,i,i,X,i,令,P,(X,1X,2,X,n,),则可得,AP=A(X,1,X,2,X,n,)=,（,AX,1,AX,2,AX,n,）,P,（,1,X,1,2,X,2,n,X,n,）,AP,P,P,1,AP,即是,A,证毕,.,可以得到求与,A,相似的,对角矩阵,，以及相似,变换矩阵,P,的步骤：,第一步：由,I,A,0,求出特征值。,第二步：对于每个,，解方程组,(I,A)X,0,求出基础解系，最后得到,n,个线性无关的特征向量,X,1,X,2,X,n,。,必有,P,1,AP=,第三步：得到,例,.,矩阵,求可逆矩阵,P,及对角矩阵,，使,P,1,AP,。,解,:,因此特征值,1,1,2,-2,当,1,时方程组（,I,A,）,X,0,为,其基础解系为,:,其基础解系为,:,当,2,时，方程组（,A,）,X,0,为,有,P,1,AP,因此特征值,1,2,2,4,当,2,时方程组,(,I,A)X,0,为,例,:,矩阵,判定定理,2,.n,阶矩阵,A,与对角矩阵相似的充要条件是对于每一个,n,i,重特征值,i,有,ni,个线性无关的特征向量。,（即（,i,I,A,）,X,0,的基础解系有,n,i,个解向量）,其基础解系为,:,所以矩阵,A,不与对角矩阵相似,.,例,.,已知,能对角化,求,A,n,(,n,1).,解,:,先求,A,的特征方程,由此可见,A,有三个特征值,1,=0,2,=,3,=1.,因为,A,能够对角化,必须对应于重根,2,=,3,=1,有两个线性无关的特征向量,对于特征值,=1,时（,A,）,Y,0,为,对其系数矩阵作行初等变换,可以看出如果此齐次方程要有两个线性无关的基础解系,就必须有两个自由变量,y,3,已经是一个自由变量,因此需要,y,2,也是自由变量,这就要求上面矩阵的第二行全为零,即,x,+2=0,得,x,=,-,2,此时,这时候,A,能对角化,所以存在方阵,T,使,上式两边同时左乘,T,及右乘,T,-,1,可得,又,例,2,设有矩阵,(1),问矩阵,A,是否可对角化,若能,试求可逆,矩阵,P,和对角矩阵,使,P,-1,AP,=,.,(2),使,P,-1,AP,=,成立的,P,、,是否唯一，,举例说明,.,解,单击这里求特征多项式和特征值,（,1,）,矩阵,A,的特征多项式为,当,时,解方程组,即,所以,A,的三个特征值分别为,:,单击这里开始求解,解之得基础解系为,所以,是对应于,的特征向量,.,当,时,解方程组,即,解之得基础解系为,所以,是对应于,的特征向量,.,单击这里开始求解,当,时,解方程组,即,所以,是对应于,的特征向量,.,解之得基础解系为,单击这里开始求解,因为,线性无关,即三阶矩阵,A,有三个线性无关的特征向量,所以,令,则,单击这里求逆,矩阵,A,可对角化,.,此时,且有,P,-1,AP,=,.,（,2,）,使,P,-1,AP,=,成立的,P,、,不唯一,.,如,若取,则,此时,亦有,P,-1,AP,=,.,单击这里求逆,例,3,判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,若相似,则求出可逆矩阵,P,使,P,-1,AP,是对角矩阵,.,矩阵,A,是个对角线上的元素相同的上,三角矩阵,注意任何对角矩阵、上下三角矩阵的特征,值都是其对角线上的元素,所以此题,A,的特征值为,使,A,=,P,-1,P,但是,P,-1,P=P,-1,EP=E,就应有,A=E,这显然不对,所以说,A,不相似于对,则,A,不相似于对角矩阵,因为如果,A,相似于对角,矩阵,则,就是单位矩阵,且应有可逆矩阵,P,角矩阵,.,(1),解,先求特征值，,A,的特征多项式为,A,的特征值为,再求特征向量,单击这里求特征值,(2),解,当,时，解方程组,即,得对应于,的特征向量为,单击这里求解,当,时，解方程组,即,得对应于,的特征向量为,单击这里求解,令,则,P,可逆，且有,因为,3,阶矩阵,A,找到了,个线性无关的特,征向量，所以方阵,A,相似于对角矩阵,.,例,4,设,相似于对角矩阵,求,x,与,y,应满足的条件,.,先求特征值,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为,A,相似于对角矩阵的充分必要条件是,A,有三个,线性无关的特征向量,解,行变换,所以,x,、,y,应满足的条件为,:,特征向量,.,的秩为,1,下面把矩阵,化为行最简形,.,应能找到两个线性无关的即,A,的二重特征值,这时就要求矩阵,即,例,5,设,3,阶矩阵,A,的特征值为,对应的特征向量依次为,求,A,和,A,100,.,因,3,阶方阵,A,的三个特征值互不相,则,A,=,P,P,-1,.,等,所以,A,可对角化,即存在可逆方阵,P,使,解,令,单击这里开始求逆,则,且,P,-1,AP,=,所以,因为,A=P,P,-1,，,所以,A,100,=,P,100,P,-1,二,.,约当标准形简介,1.,约当块,:,约当块的特点是主对角线都为,次对角线都为,1,2.,约当形矩阵,(,约当标准形,),如果一个分块对角矩阵的所有子块都是约当块,即其中,J,1,，,J,2,，,，,J,n,，都是约当块，称,J,为,约当形矩阵,，或称为,约当标准形。,例如：下列矩阵都是约当形矩阵,而下列矩阵不是约当形矩阵,注意,:,对角矩阵也是一种特殊的约当形矩阵,定理,.,对的,n,阶方阵,A,，都有与之相似的约当形矩阵。即是存在,n,阶可逆矩阵,P,和约当形矩阵,J,，有,P,1,AP,J,例如,.,如果,4,届矩阵,A,的特征值,1,2,，,2,3,4,3,，但是,如果,3,的线性无关的特征向量的个数为,2,显然,A,不与对角矩阵相似,但,A,与,J,1,相似,(,此时,r(3 I,J,1,)=2),如果,3,的线性无关的特征向量的个数为,1,显然,A,不与对角矩阵相似,但,A,与,J,2,相似,(,此时,r(3 I,J,1,)=3),。,结 束,