吉林省白城市第十四中学2025-2026学年高二数学第一学期期末考试试题含解析.doc

吉林省白城市第十四中学2025-2026学年高二数学第一学期期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（）
A. B.
C. D.
2．函数的单调增区间为（）
A. B.
C. D.
3．连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A.只有2次出现反面 B.至少2次出现正面
C.有2次或3次出现正面 D.有2次或3次出现反面
4．设，命题“若，则或”的否命题是（ ）
A.若，则或
B.若，则或
C.若，则且
D.若，则且
5．已知向量，满足条件，则的值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.
6．已知数列满足，，则（）
A. B.
C. D.
7．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出值为（）

A. B.
C. D.
8．已知直线在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m的值为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
9．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A.4 B.8
C.16 D.32
10．设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11．直线被椭圆截得的弦长是
A. B.
C. D.
12．已知，，且，则向量与的夹角为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的左、右焦点分别为点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________
14．已知向量，，且，则实数______.
15．与直线和直线的距离相等的直线方程为______
16．命题“任意，”为真命题，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点．过MN的平面与侧面PBC交于EF

（1）求证：；
（2）若平面平面ABC，，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值
18．（12分）已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.
19．（12分）已知椭圆经过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程
20．（12分）给出以下三个条件：①；②，，成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分
已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，______
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和
21．（12分）已知圆C的圆心为，且圆C经过点
（1）求圆C的一般方程；
（2）若圆与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围
22．（10分）已知数列的前n项和为，满足，
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，
①求；
②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.
【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，
设点、、，
联立可得，，，
所以，，
，，
直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，，
因为，则，因为，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：C.
2、D
【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.
【详解】函数的定义域为

令，解得
故选：D
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
3、D
【解析】根据对立事件的定义选择
【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为“有2次或3次出现反面”
故选：D
4、C
【解析】根据否命题的定义直接可得.
【详解】根据否命题的定义可得命题“若，则或”的否命题是若，则且，
故选：C.
5、A
【解析】先求出坐标，进而根据空间向量垂直的坐标运算求得答案.
【详解】因为，所以，解得.
故选：A.
6、A
【解析】根据递推关系依次求出即可.
【详解】，，
，，，.
故选：A.
7、A
【解析】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，计算三个数判断作答.
【详解】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，
因，，，
则，不成立，则，不成立，则，
所以应输出的x值为.
故选：A
8、C
【解析】求出直线方程在两坐标轴上的截距，列出方程，求出实数m的值.
【详解】当时，，故不合题意，故，，令得：，令得故，解得：.
故选：C
9、B
【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
10、A
【解析】计算出复数即可得出结果.
【详解】由于，对应的点的坐标为，在第一象限，
故选：A.
11、A
【解析】直线y＝x+1代入，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长
【详解】将直线y＝x+1代入，可得，
即5x2+8x﹣4＝0，
∴x1＝﹣2，x2，
∴y1＝﹣1，y2，
∴直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长为
故选A
【点睛】本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题
12、B
【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.
【详解】，
所以，
∴，∴，
∴，
又∵，
∴与的夹角为
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设，，因为点是线段中点，所以有，代入坐标求出点的轨迹为圆，因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.
【详解】解：设，，因为点是线段的中点，所以有，即有，因为点在圆上，所以满足：，代入可得：，即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示：

因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：圆心到渐近线的距离为，
因为，所以，即，且，所以，此时，，当时，渐近线与圆有公共点，.
故答案为：.
14、
【解析】利用向量平行的条件直接解出.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得.
故答案为： .
15、
【解析】设直线方程为，根据两平行直线之间距离公式即可求解.
【详解】设该直线为：，则由两平行直线之间距离公式得：
，故该直线为：；
故答案为：.
16、
【解析】分离常数，将问题转化求函数最值问题.
【详解】任意，恒成立恒成立，故只需，记，，易知，所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意先证明平面PBC，然后由线面平行的性质定理可证明.
（2）由平面平面ABC，取BC中点O，则平面ABC，可得，由条件可得，以O坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
因为M，N分别为AB，AP的中点，所以，
又平面PBC，所以平面PBC，
因为平面平面，所以
【小问2详解】
因为平面平面ABC，取BC中点O，
连接PO，AO，因为是等边三角形，所以，

所以平面ABC，故，又因，
所以，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
可得：，，，，，
所以，，，
设平面PAC的法向量为，则,则，
令，得，，所以，

所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为
18、（1）在和上单调递增，在上单调递减；
（2）证明见解析
【解析】（1）首先求出函数的导函数，再令、，分别求出函数的单调区间；
（2）先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论
【小问1详解】
解：当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
解：，
，，
因为存在两个极值点，，所以存在两个互异的正实数根，，
所以，，则，所以，
所以

，
令，
则，
，，
在上单调递减，
，而，
即，

19、（1）
（2）
【解析】(1)将点M、N的坐标代入椭圆方程计算，求出a、b的值即可；
(2)设l的方程为：，，根据直线与圆的位置关系可得，直线方程联立椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，进而列出关于k的方程，解之即可.
【小问1详解】
椭圆经过点，
则，解得，

【小问2详解】
设l的方程为：
与圆相切

设点，
，
则，
，
，
，
，
，，
，，，
故，

20、（1）
（2）
【解析】（1）若选①，则根据等差数列的前n项和公式，结合，求得公差，可得答案; 若选②，则根据，，成等比数列，列出方程，结合，求得公差，可得答案; 若选③，则根据，列出方程，结合，求得公差，可得答案;
（2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法，求得答案.
【小问1详解】
设数列的公差为d
选择①，由题意得，又，则，所以；
选择②，由，，成等比数列，得，即，
解得，或（舍去），所以；
选择③，由，得，解得，所以
【小问2详解】
由题意知，
∴①
②
①－②得

∴，即.
21、（1）
（2）
【解析】（1）设圆C的一般方程为．由圆C的圆心和圆C经过点求解；
（2）根据圆与圆C恰有两条公切线，由圆O与圆C相交求解.
【小问1详解】
解：设圆C的一般方程为
∵圆C的圆心，
∴即
又圆C经过点，
∴
解得
经检验得圆C的一般方程为；
【小问2详解】
由（1）知圆C的圆心为，半径为5
∵圆与圆C恰有两条公切线，
∴圆O与圆C相交
∴
∵，
∴
∴m的取值范围是
22、（1）证明见解析，
（2）①；②
【解析】（1）由得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式；
（2）①由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
②利用作差法证明的单调性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；
【小问1详解】
证明：由，，当时，可得，解得，
当时，，
又，两式相减得，
所以，所以，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
所以，所以
【小问2详解】
解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以
整理得
②由①知，所以，即单调递增，所以，因为不等式对任意的正整数n恒成立，所以，即，解得或，即