江西省九所重点中学2025年数学高一第一学期期末达标测试试题含解析.doc

江西省九所重点中学2025年数学高一第一学期期末达标测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数的单调区间是，那么函数在区间上（）
A.当时，有最小值无最大值 B.当时，无最小值有最大值
C.当时，有最小值无最大值 D.当时，无最小值也无最大值
2．已知，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
3．米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）
A. B.
C. D.
4．已知a=1.50.2，b=log0.21.5，c=0.21.5，则（　　）
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.a>c>b
5．复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或
者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息( )元.（参考数据：）
A.176 B.100
C.77 D.88
6．已知定义在上的函数满足，则（）
A. B.
C. D.
7．设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于
A. B.
C.0 D.-1
8．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（）

A. B.
C. D.
9．如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）

A B.
C. D.
10．设实数满足，函数的最小值为（ ）
A. B.
C. D.6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则的终边所在的象限为______
12．设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________
13．经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出一般式）___
14．若直线：与直线：互相垂直，则实数的值为__________
15．将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数________________的图象，再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数________________的图象
16．定义在上的函数满足则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)求证：AE∥平面BFD；
(3)求三棱锥C－BGF的体积

18．如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点.

（1）求函数的解析式及上的单调增区间；
（2）若时，函数的最小值为，求实数的值.

19．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处，第一种是从A沿直线步行到C，第二种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到某旅客选择第二种方式下山，山路AC长为1260m，从B处步行下山到C处，，经测量，，，求索道AB的长

20．年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据：，，，，，，）
（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数）
21．设函数，其中
（1）若当时取到最小值，求a的取值范围
（2）设的最大值为，最小值为，求的函数解析式，并求的最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】依题意不等式的解集为（1，+∞），即可得到且，即，再根据二次函数的性质计算在区间（-1，2）上的单调性及取值范围，即可得到函数的最值情况
【详解】因为函数的单调区间是，
即不等式的解集为（1，+∞），
所以且，即，
所以 ,
当时，在上满足，
故此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此A,B错误；
当时，在上满足，
此时为减函数，既无最大值也无最小值，故C错误，D正确，
故选：D.
2、B
【解析】利用诱导公式由求解.
【详解】因为，
所以，
故选：B
3、C
【解析】根据对立事件和独立事件求概率的方法即可求得答案.
【详解】由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.
故选：C.
4、D
【解析】由对数和指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以
故选：D
5、B
【解析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案
【详解】由题意，某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若在银行存放5年，可得金额为元，即利息为元，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝时，利率可达4.01%，若存放5年，可得金额为元，即利息为元，所以将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息元，故选B
【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
6、B
【解析】分别令，，得到两个方程，解方程组可求得结果
【详解】∵，
∴当时，，①，
当时，，②，
，得，解得
故选：B
7、C
【解析】：正确的是C.
点评：此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.
8、C
【解析】根据斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图，然后可解.
【详解】由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面积为.
故选：C

9、D
【解析】根据相等向量的定义直接判断即可.
【详解】与方向不同，与均不相等；
与方向相同，长度相等，.
故选：D.
10、A
【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.
详解】解：由题意，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：A
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、第一或第三象限
【解析】将表达式化简，，二者相等，只需满足与同号即可，从而判断角所在的象限.
【详解】由，，
若，只需满足，即与同号，
因此的终边在第一或第三象限.
故答案为：第一或第三象限.
12、
【解析】作出函数的图象，设，求出的取值范围以及的值，由此可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象，设，如下图所示：

二次函数的图象关于直线对称，则，
由图可得，可得，解得，
所以，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查零点有关代数式的取值范围的求解，解题的关键在于利用利用图象结合对称性以及对数运算得出零点相关的等式与不等式，进而求解.
13、x+y-5=0 或2x-3y=0
【解析】当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距相等，可得其方程为2x﹣3y＝0；当直线不经过原点时，可得它的斜率为﹣1，由此设出直线方程并代入P的坐标，可求出其方程为x+y﹣5＝0，最后加以综合即可得到答案
【详解】当直线经过原点时，设方程为y＝kx，
∵直线经过点P（3，2），∴2＝3k，解之得k，
此时的直线方程为yx，即2x﹣3y＝0；
当直线不经过原点时，设方程为x+y+c＝0，
将点P（3，2）代入，得3+2+c＝0，解之得c＝﹣5，此时的直线方程为x+y﹣5＝0
综上所述，满足条件的直线方程为：2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0
故答案为：x+y-5=0 或2x-3y=0
【点睛】本题给出直线经过定点且在两个轴上的截距相等，求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题
14、-2
【解析】由于两条直线垂直，故.
15、 ①. ②.
【解析】根据三角函数的图象变换可得变换后函数的解析式.
【详解】由三角函数的图象变换可知，
函数的图象先向右平移可得，
再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）可得，
故答案为：；
16、
【解析】表示周期为3的函数，故，故可以得出结果
【详解】解：
表示周期为3的函数，

【点睛】本题考查了函数的周期性，解题的关键是要能根据函数周期性的定义得出函数的周期，从而进行解题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见详解；（2）见详解；（3）
【解析】(1)证明　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.
又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，
又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.
(2)证明　由题意可得G是AC的中点，连结FG，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF.
而BC＝BE，∴F是EC的中点，
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD.
(3)∵AE∥FG.
而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCF.
∵G是AC中点，F是CE中点，
∴FG∥AE且FG＝AE＝1.
∴Rt△BCE中，BF＝CE＝CF＝，
∴S△CFB＝××＝1.
∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△CFB·FG＝.
18、（1）（2）
【解析】（1）由点是线段的中点，可得和的坐标，从而得最值和周期，可得和，再代入顶点坐标可得，再利用整体换元可求单调区间；
（2）令得到，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.
【详解】（1）因为为中点，，所以，，则，
，又因为，则
所以，由

又因为，则
所以
令
又因为
则单调递增区间为.
（2）因为
所以
令，则
对称轴为
①当时，即时，；
②当时，即时，（舍）
③当时，即时，（舍）
综上可得：.
【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.
19、索道AB的长为1040m
【解析】利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理求AB即可
【详解】解：在中，，，
，，
则，
由正弦定理得得，
则索道AB的长为1040m
【点睛】本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键
20、（1）应选模型为，理由见解析；
（2）

【解析】（1）根据增长速度可知应选，根据已知数据可构造方程组求得，进而得到函数模型；
（2）根据函数模型可直接构造不等式，结合参考数据计算可得，由此可得结论.
小问1详解】
的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，
应选模型为；
则，解得：，，又，
函数模型为；
【小问2详解】
由题意得：，即，，
，，
至少经过培养基中菌落面积能超过.
21、（1）
（2），最小值为.
【解析】（1）求得函数的导数，令，要使得函数在取到最小值，则函数必须先减后增，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）知，若时，得到函数在上单调递减，得到；若时，令，求得，分，，
三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
令，
要使得函数在取到最小值，则函数必须先减后增，
则满足，解得，
即实数取值范围为.
【小问2详解】
解：由（1）知，设，
若时，即时，，即，函数在上单调递减，
所以，可得；
若时，即时，
令，即，解得或，
①当时，即时，在恒成立，即，
可得函数在上单调递增，所以，可得；
②当时，即时，在恒成立，即，
可得函数在上单调递减，所以，
可得；
③当时，即时，
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，即，
又由，可得，
（i）当时，，即，所以，
此时；
（ii）当时，，即，所以，
此时，
综上可得，函数的解析式为，
当时，；
当时，；
当时，令，则，可得，
根据二次函数的性质，可得当时，函数取得最小值，最小值为；
当时，令，则，可得，
则，
综上可得，函数的最小值为.