湖南省怀化三中2025年数学高一第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

湖南省怀化三中2025年数学高一第一学期期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．有四个关于三角函数的命题：
：xR, +=: x、yR, sin(x-y)=sinx-siny
: x=sinx : sinx=cosyx+y=
其中假命题的是
A.， B.，
C.， D.，
2．已知函数，则的值是
A.-24 B.-15
C.-6 D.12
3．已知集合，，则　　
A.或 B.或
C. D.或
4．已知是偶函数，它在上是减函数.若，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．已知函数则的值为（）
A. B.
C.0 D.1
6．已知x，，且，则
A. B.
C. D.
7．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是 （ ）
A. B.
C. D.
8．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是
A.相交 B.相离
C.内切 D.外切
9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）
A.7 B.6
C.5 D.3
10．将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调递增区间是_________
12．在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____
13．已知，则的值是________，的值是________.
14．已知函数，则的值为_________.
15．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为_________
16．写出一个周期为且值域为的函数解析式：_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知是半径为圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记为.

（1）若的周长为，求的值；
（2）求的最大值，并求此时的值.

18．已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其图象的一条对称轴

（1）求，的值；
（2）在图中画出函数在区间上的图象；
（3）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，求单调减区间.
19．已知向量 函数
（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的零点情况.
20．揭阳市某体育用品商店购进一批羽毛球拍，每件进价为100元，售价为160元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元?
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?
21．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】故是假命题；令但故是假命题.
2、C
【解析】∵函数，
∴，
故选C
3、A
【解析】进行交集、补集的运算即可．
【详解】；
，或
故选A．
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
4、C
【解析】根据偶函数的性质结合单调性可得，即可根据对数函数单调性解出不等式.
【详解】由于函数是偶函数，由得，
又因为函数在上是减函数，所以在上是增函数，
则，即，解得.
故选：C.
5、D
【解析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，
故选：D
6、C
【解析】原不等式变形为，由函数单调递增，可得，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性逐一分析四个选项即可得答案
【详解】函数为增函数，
，即，可得，
由指数函数、对数函数、幂函数的单调性可得，B，D错误，
根据递增可得C正确，故选C
【点睛】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性，是中档题．函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值
7、D
【解析】由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可
【详解】由题意知函数的周期为，则，所以，则.
故选D.
【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题
8、C
【解析】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论
详解：圆，圆,，所以内切．故选C
点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：
，内含；，内切；，相交；，外切；，外离
9、A
【解析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.
【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.
10、C
【解析】把原函数解析式中的换成，得到的图象，再把的系数变成原来的倍，即得所求函数的解析式.
【详解】将函数的图象先向左平移，得到的图象，
然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设 ，或
为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数单调递增区间是.
12、
【解析】
M﹣ABC四个面都为直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，
∴三角形的AC=2，
从而可得MC=2，
那么ABC内接球的半径r：可得（﹣r）2=r2+（2﹣）2
解得：r=2-
∵△ABC时等腰直角三角形，
∴外接圆半径为AC=
外接球的球心到平面ABC的距离为=1
可得外接球的半径R=
故得：外接球表面积为.
由已知，设内切球半径为，
，

，
内切球表面积为，
外接球与内切球的表面积之和为
故答案为：.
点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心.
13、 ①. ②.
【解析】将化为可得值，通过两角和的正切公式可得的值.
【详解】因为，所以；
，
故答案为：，.
14、
【解析】，填.
15、4
【解析】设扇形半径为，弧长为，则，解得
考点：角的概念，弧度的概念
16、
【解析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可
【详解】解：函数的周期为，值域为,，
则的值域为,，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），.
【解析】（1）根据周长即可求得，以及；将目标式进行转化即可求得；
（2）用表示出，将其转化为关于的三角函数，求该三角函数的最大值即可求得结果.
【详解】（1），，
则若的周长为，
则，
，
平方得，
即，
解得（舍）或.
则
.
2）中，，
，
在中，
，
，
则

因为，
，
当，
即时，有最大值.
【点睛】本题考查已知正切值求齐次式的值，以及几何图形中构造三角函数，并求三角函数最值的问题，涉及倍角公式和辅助角公式的利用，属综合中档题.
18、（1）.．（2）见解析（3），
【解析】（1）两条对称轴之间的距离是半个周期，求，当时，代入求
（2）由（1）知，根据“五点法”画出函数的图象；
（3）首先求图象变换后的解析式，再令，，求函数的单调递减区间.
【详解】（1）∵相邻两条对称轴之间的距离为，
∴的最小正周期
,
∴.
∵直线是函数的图象的一条对称轴
∴．∴，
∵，∴
（2）由知

0

-1
0
1
0

故函数在区间上的图象如图

（3）由的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到 ，图象向左平移个单位后得到，
，
令，，
∴函数的单调减区间为，
【点睛】本题考查三角函数性质和图象的综合问题，意在考查熟练掌握三角函数性质，一般“五点法”画的图象，若是函数图象变换，1.左右平移，需根据“左＋右－”的变换规律求解，2.周期变换（伸缩变换），若是函数 横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，变换后的解析式为.
19、（1）；（2）见解析
【解析】（1）由题意得，结合不等式恒成立，建立m的不等式组，从而得到实数的取值范围；
（2）)令得：即，对m分类讨论即可得到函数的零点情况.
【详解】（1）由题意得，
，
当时，
∴，又恒成立，则
解得：
(2)令得：得：

,则.
由图知：
当或，即或时，0个零点；
当或，即或时，1个零点；
当或，即或时，2个零点；
当，即时，3个零点.
综上：或时，0个零点；
或时，1个零点；
或时，2个零点；
时，3个零点.
【点睛】本题考查三角函数的图像与性质的应用，三角不等式恒成立问题，函数的零点问题及三角函数的化简，属于中档题.
20、（1）4800
（2）将售价定为150元，最大销售利润是5000元.
【解析】（1）由销售利润=单件利润×销售量，即可求商家降价前每星期的销售利润；
（2）由题意得销售利润，根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.
【小问1详解】
由题意，商家降价前每星期的销售利润为（元）；
【小问2详解】
设售价定为元，则销售利润.
当时，有最大值5000
∴应将售价定为150元，最大销售利润是5000元.
21、（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）或.
【解析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
【小问1详解】
假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，
所以函数不 “自均值函数”.
【小问2详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；
综上得：或，
所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.
【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.