2025年山东省青岛市青岛二中高二上数学期末统考试题含解析.doc

2025年山东省青岛市青岛二中高二上数学期末统考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程表示的曲线为（）
A.抛物线与一条直线 B.上半抛物线（除去顶点）与一条直线
C.抛物线与一条射线 D.上半抛物线（除去顶点）与一条射线
2．已知，且直线始终平分圆的周长，则的最小值是（）
A.2 B.
C.6 D.16
3．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（　　）
A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件
4．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（）
A. B.
C. D.
5．若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线与所成的角为，则三棱锥的体积等于（）

A. B.
C.2 D.
7．平行六面体中，若，则（ ）
A. B.1
C. D.
8．若函数单调递增，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．在等差数列中，为其前项和，若．则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知数列满足，且，那么（ ）
A. B.
C. D.
11．已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是（）
A.6 B.9
C.14 D.10
12．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的图象在点处的切线方程为____.
14．设、、是三个不同的平面，、是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则
其中，正确结论的序号为_
15．已知正三棱台上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.
16．已知、均为正实数，且，则的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知点，圆C：，l：.
（1）若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；
（2）设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.
19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.

（1）证明：；
（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.
20．（12分）已知函数
（1）求曲线在点（e，）的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
21．（12分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
22．（10分）如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题

（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】化简得出或，由此可得出方程表示的曲线.
【详解】由可得或，
所以，方程表示的曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线，
故选：B.
2、B
【解析】由已知直线过圆心得，再用均值不等式即可.
【详解】由已知直线过圆心得：，
，
当且仅当时取等.
故选:B.
3、A
【解析】根据事件的关系进行判断即可.
【详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，
所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.
故选：A.
【点睛】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.
4、A
【解析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项.
【详解】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则
，即，取，，
又平面平面，则平面与平面间的距离为，
故选：A.
5、A
【解析】分析可知直线与曲线在上的图象有两个交点，令可得出，令，问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，，，此时两个函数的图象无交点；
当时，由得，可得，
令，其中，则直线与曲线有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
且当时，，作出直线与曲线如下图所示：

由图可知，当时，即当时，
指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点.
故选：A.
6、D
【解析】由题意可证平面，取BD的中点F，连接EF，则为直线与所成的角，利用余弦定理求出，根据三棱锥体积公式即可求得体积
【详解】如图，

∵，点为的中点，
∴，，
∵，，两两垂直，，
∴平面，取BD的中点F，连接EF
∴为直线与所成的角，且，
由题意可知，，设，连接AF，
则，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，即
∴三棱锥的体积
故选：
7、D
【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.
【详解】在平行六面体中，
有，故由题意可知：，
即，所以，
故选：D.

8、D
【解析】根据函数的单调性，可知其导数在R上恒成立，分离参数，即可求得答案.
【详解】由题意可知单调递增，
则在R上恒成立，可得恒成立，
当时，取最小值-1，
故，
故选：D
9、C
【解析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.
【详解】由等差数列的性质和求和公式可得.
故选：C.
10、D
【解析】由递推公式得到，，，再结合已知即可求解.
【详解】解：由，得，，
又，那么
故选：D
11、A
【解析】根据椭圆的定义，可求得答案.
【详解】由可知：，
由是椭圆上的一点，
则点到两焦点的距离之和为 ，
故选：A
12、A
【解析】由椭圆方程可求得坐标，由此求得抛物线方程；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，根据可得，由此构造方程求得，根据直线过定点的求法可求得定点.
【详解】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，
，解得：，则抛物线的方程为，
由题意知：直线斜率不为，可设，
由得：，则，即，
设，，则，
，，解得：或；
又与坐标原点不重合，，，
当时，，直线恒过定点.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求出导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程
【详解】由题意，，，则切线方程为：.
故答案为：.
14、①②
【解析】利用线面垂直的性质可判断命题①、②的正误；利用特例法可判断命题③的正误.综合可得出结论.
【详解】、、是三个不同的平面，、是两条不同的直线.
对于①，若，，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得，故①正确；
对于②，若，，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得，故②正确；
对于③，若，，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断、相交，则不正确
故答案为：①②
【点睛】本题考查空间中线面、面面位置关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.
15、
【解析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可
【详解】上底面的面积为，下底面的面积为，则这个正三棱台的体积为.
故答案为：
16、
【解析】由基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.
【详解】因、均为正实数，由基本不等式可得，
整理可得，
，，则，解得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在，方程为和.
【解析】（1）根据椭圆上的点、离心率和关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；
（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理形式，根据共线向量可得，代入韦达定理中可构造关于的方程，解方程可求得，进而得到直线方程.
【小问1详解】
由题意得：，解得：，椭圆的方程为；
【小问2详解】
由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，
由得：，则；
，，，
，，
解得：，，
满足条件的直线存在，方程为和.
18、（1）或
（2）
【解析】（1）求出圆的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；
（2）由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，求出，再利用计算即可.
【小问1详解】
由题意可知圆的圆心到直线的距离为
①当直线斜率不存在时，圆的圆心到直线距离为1，满足题意；
②当直线斜率存在时，设过的直线方程为：，即
由点到直线距离公式列方程得：解得
综上，过的直线方程为或.
【小问2详解】
由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，

由勾股定理知：，
所以的最小值为.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接交于点，连接，要证明，只需证明平面即可；
（2）以D为原点建系，分别求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接
四边形为正方形，
，且为的中点
又四边形为菱形，

平面
平面
又平面OAE
.

（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，
则
由（1）得
又平面平面，平面平面，
平面ABCD，故，同理，

设为平面的法向量，为平面的法向量，
则故可取，
同理故可取，
所以
设平面与平面所成的二面角为，则，
所以平面与平面所成的二面角的正弦值为
20、（1）；（2）在单调递减，在单调递增
【解析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程；
（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可
【详解】解：（1）由得，
所以切线斜率为
切点坐标为，
所以切线方程为，即；
（2），
令，得
当时，；
当时，，
∴在单调递减，在单调递增
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据方程为焦点在轴上的椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
（2）求得为真命题时的取值范围，结合是的必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】（1）若是真命题，所以，解得，
所以的取值范围是.
（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是，
为真命题时，，
所以的取值范围是
因为是的必要不充分条件，
所以，所以，等号不同时取得，
所以
【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线，考查必要不充分条件求参数.
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直；
（2）根据（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得结果.
【小问1详解】
矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点，∴，∴翻折后
∵平面平面，且面，面，
故可得面，又面，∴，故两两垂直，
∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：

∵，则，，，，
，，
∵，，∴，
∴，，又面，
∴平面.
【小问2详解】
由（1）知，平面的法向量为，又向量，
则向量与法向量为所成角的余角即是直线与平面所成角，
设直线与平面所成角为，向量与法向量为所成角为，
则.
故直线与平面所成角正弦值为.