2025年兰州市重点中学高一上数学期末考试模拟试题含解析.doc

2025年兰州市重点中学高一上数学期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2．点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，，两点连线的距离与点走过的路程的函数关系如图所示，则点所走的图形可能是

A. B.
C. D.
3．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集为（）
A. B.
C. D.
4．设全集，集合，，则等于
A. B.{4}
C.{2,4} D.{2,4,6}
5．已知向量，满足，且与的夹角为，则（）
A. B.
C. D.
6．设函数的定义域，函数的定义域为,则=
A. B.
C. D.
7．已知直线，圆．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为．当四边形面积最小时，直线方程是（）
A. B.
C. D.
8．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13

14
15
13
12
9
第3组的频数和频率分别是（）
A.和14 B.14和
C.和24 D.24和
9．设分别是x轴和圆：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的动点，且点A(03)，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数f（x）（x∈R）满足f（2-x）=-f（x），若函数y=与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym）（m∈N*），则x1+x2+x3+…+xm的值为（　　）
A.4m B.2m
C.m D.0
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为__________
12．设某几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________

13．若函数是奇函数，则__________.
14．圆的圆心到直线的距离为_
15．已知函数，则的单调递增区间是______
16．若，且α为第一象限角，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且．设
（）若，，，求方程在区间内的解集
（）若函数满足：图象关于点对称，在处取得最小值，试确定、和应满足的与之等价的条件
18．已知函数（其中为常数）的图象经过两点.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）证明函数在区间上单调递增.
19．已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
20．如图，已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21＝0相切，与y轴交于M，N两点且∠MCN＝120°.

（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若|DE|＝2，求直线l的方程.
21．如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.
（1）试将污水净化管道总长度(即的周长)表示为的函数，并求出定义域；
（2）问当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

（提示：.）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据交集直接计算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C
2、C
【解析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决.
【详解】由函数关系式可知当点P运动到图形周长一半时O,P两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B正方形的图像关于对角线对称，所以距离与点走过的路程的函数图像应该关于对称，由图可知不满足题意故排除选项B，
故选C
【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力
3、D
【解析】由可得，由单调性即可判定在和上的符号，再由奇偶性判定在和上的符号，即可求解.
【详解】∵即，
∵在上单调递增，∴当时，，此时，
当时，，此时，
又∵是定义在上的奇函数，∴在上单调递增，且，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上可知，的解集为，
故选:D
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的交汇，求得函数在各个区间上的符号是关键，考查了推理能力，属于中档题.
4、C
【解析】由并集与补集的概念运算
【详解】
故选：C
5、A
【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为，，且与的夹角为，
所以，
因此.
故选：A.
6、B
【解析】由题意知, ,所以，故选B.
点睛：集合是高考中必考知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错
7、B
【解析】求得点C到直线l的距离d ，根据，等号成立时，求得点P，进而求得过的圆的方程，与已知圆的方程联立求解.
【详解】设点C到直线l的距离为，
由，
此时，，
方程为，即，
与直线联立得，
因为共圆，其圆心为，半径为，
圆的方程为,
与联立，
化简整理得，
答案：B
8、B
【解析】根据样本容量和其它各组的频数，即可求得答案.
【详解】由题意可得：第3组频数为 ，
故第3组的频率为 ，
故选：B
9、B
【解析】取点A关于x轴的对称点C（0，-3），得到，最小值为.
故答案为B.
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；再者在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值
10、C
【解析】由条件可得，即有关于点对称，又的图象关于点对称，即有为交点，即有，也为交点，计算即可得到所求和
【详解】解：函数满足，
即为，
可得关于点对称，
函数的图象关于点对称，
即有，为交点，即有，也为交点，
，为交点，即有，也为交点，
则有．
故选．
【点睛】本题考查抽象函数的求和及对称性的运用，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
分别是上，下底面的中心，则的中点为几何体的外接球的球心，
12、4
【解析】根据三视图确定该几何体为三棱锥，由题中数据，以及棱锥的体积公式，即可求出结果.
【详解】由三视图可得：该几何体为三棱锥，
由题中数据可得：该三棱锥的底面是以为底边长，以为高的三角形，三棱锥的高为，
因此该三棱锥的体积为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求体积的问题，熟记棱锥的结构特征，以及棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
13、
【解析】根据题意，得到，即可求解.
【详解】因为是奇函数，可得.
故答案为：.
14、1
【解析】利用点到直线的距离公式可得所求的距离.
【详解】圆心坐标为，它到直线的距离为，
故答案为：1
【点睛】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离，此类问题，根据公式计算即可，本题属于基础题.
15、
【解析】函数是由和复合而成，分别判断两个函数的单调性，根据复合函数的单调性同增异减即可求解.
【详解】函数是由和复合而成，
因为为单调递增函数，
对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递增区间为，
故答案为：.
16、
【解析】先求得，进而可得结果.
【详解】因为，
又为第一象限角，所以，，故.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）解集为；（2）见解析.
【解析】分析：（）由平面向量数量积公式、结合辅助角公式可得，令，从而可得结果；（）“图象关于点对称，且在处取得最小值”．因此，根据三角函数的图象特征可以知道，，故有，
∴，，当且仅当，时，的图象关于点对称；此时，，对讨论两种情况可得使得函数满足“图象关于点对称，且在处取得最小值的充要条件”是“，时，，；或当时，，”.
详解：（）根据题意，
当，，时，
，，
则有或，
即或，
又因为，故在内解集为
（）解：因为，设周期
因为函数须满足“图象关于点对称，且在处取得最小值”
因此，根据三角函数的图象特征可以知道，，
故有，
∴，，
又因为，形如的函数的图象的对称中心都是的零点，
故需满足，而当，时，
因为，；
所以当且仅当，时，
的图象关于点对称；
此时，，
∴，
（i）当，时，，进一步要使处取得最小值，
则有，
∴，故，
又，则有，，
因此，由可得，
（ii）当时，，进一步要使处取得最小值，
则有；
又，则有，
因此，由，可得，
综上，使得函数满足“图象关于点对称，且在处取得最小值的充要条件”是“，时，，；或当时，，”
点睛：本题主要考查公式三角函数的图像和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.
18、 (1)见解析；（2）见解析.
【解析】⑴根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性；
⑵根据函数单调性的定义证明即可；
解析：（1）解：∵函数的图象经过两点
∴解得
∴.
判断：函数是奇函数
证明：函数的定义域，
∵对于任意，，
∴函数是奇函数.
（2）证明：任取，则

∵，∴，
∴.
∴在区间上单调递增.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）m=﹣2时求出集合B，然后进行交集、并集的运算即可；
（2）由B⊆A便可得到，解该不等式组即可得到实数m的取值范围
试题解析：
（1）；（2）
解：当时，，
由中不等式变形得，解得，即.
（1）.
（2），解得，
的取值范围为.
20、（1）（x﹣1）2+y2＝4；（2）y或x＝0
【解析】（1）由题意设圆心为，且，再由已知求解三角形可得，于是可设圆的标准方程为，由点到直线的距离列式求得值，则圆的标准方程可求；
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得，可得直线方程，验证当时满足题意，则答案可求
【详解】解：（1）由题意设圆心为，且，
由，可得中，，，则，
于是可设圆的标准方程为，
又点到直线的距离，解得或（舍去）
故圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
则由题意可知，圆心到直线的距离
故，解得
又当时满足题意，
故直线的方程为或

【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
21、（1），定义域为.（2）当或时所铺设的管道最短，为米.
【解析】（1）如图，因为都是直角三角形，故可以得到，也就是，其中.（2）可变形为，令后，则有，其中，故取的最大值米.
【详解】（1）.

由于，，所以，故.管道的总长度，定义域为.
(2) . 设，则，由于，所以.因为在内单调递减，于是当时，取的最大值米.（此时或）.
答：当或时所铺设的管道最短，为米.
【点睛】在三角变换中，注意之间有关系，如，，三者中知道其中一个，必定可以求出另外两个.