2025年北京市东城区北京第二十二中学高一上数学期末综合测试试题含解析.doc

2025年北京市东城区北京第二十二中学高一上数学期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为的正方形.若该机器零件的表面积为，则的值为

A.4 B.2
C.8 D.6
2．下列各组中的两个函数表示同一函数的是（　　）
A. B.y＝lnx2，y＝2lnx
C D.
3．下列各组函数与的图象相同的是（ ）
A. B.
C. D.
4．设且则（ ）
A. B.
C. D.
5．下列各式中成立的是
A. B.
C. D.
6．在轴上的截距分别是，4的直线方程是
A. B.
C. D.
7．若，，，则、、大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8．为了得到的图象，可以将的图象（ ）
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
9．如图，正方体的棱长为1，线段 上有两个动点E、F，且 ，则下列结论中错误的是

A.
B.
C.三棱锥体积为定值
D.
10．过原点和直线与的交点的直线的方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．下面有六个命题：
①函数是偶函数；
②若向量的夹角为，则；
③若向量的起点为，终点为，则与轴正方向的夹角的余弦值是；
④终边在轴上的角的集合是；
⑤把函数的图像向右平移得到的图像；
⑥函数在上是减函数.
其中，真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）
12．设函数，若关于的不等式的解集为，则__________
13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______
14．已知函数，若时，恒成立，则实数k的取值范围是_____.
15．计算______
16．函数在区间上的单调性是______．（填写“单调递增”或“单调递减”）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，全集.
（1）求和；
（2）已知非空集合，若，求实数的取值范围.
18．如图为函数的一个周期内的图象.

（1）求函数的解析式及单调递减区间；
（2）当时，求的值域.
19．已知函数
（1）求的最小正周期及最大值；
（2）求在区间上的值域
20．已知是第二象限，且，计算：
（1）；
（2）
21．已知函数
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）求函数的值域
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】几何体为一个正方体与四分之一个球的组合体,所以表面积为 ,选A

点睛:空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用
2、D
【解析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.
【详解】对于A， 定义域为，而定义域为，定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数，排除A；
对于B，定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；
对于C，  定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；
对于D，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.
故选：D
3、B
【解析】根据相等函数的定义即可得出结果.
【详解】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.
A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；
B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；
C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；
D：与的解析式不相同，故排除D.
故选：B
4、C
【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以
，又因为，
，所以，即，选
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式
5、D
【解析】根据指数运算法则分别验证各个选项即可得到结果.
【详解】中，中，，中，；且等式不满足指数运算法则，错误；
中，，错误；
中，，则，错误；
中，，正确.
故选：
【点睛】本题考查指数运算法则的应用，属于基础题.
6、B
【解析】根据直线方程的截距式写出直线方程即可
详解】根据直线方程的截距式写出直线方程，化简得，故选B.
【点睛】本题考查直线的截距式方程，属于基础题
7、B
【解析】由指数函数、对数函数、正弦函数的性质把已知数与0和1比较后可得
【详解】，，，所以
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查实数的大小比较，对于幂、对数、三角函数值的大小比较，如果能应用相应函数单调性的应该利用单调性比较，如果不能转化，或者是不同类型的的数，可以结合函数的性质与特殊值如0或1等比较后可得结论
8、A
【解析】根据左加右减原则，只需将函数向左平移个单位可得到.
【详解】，
即向左平移个单位可得到.
故选：A
【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，三角函数诱导公式，属于基础题.
9、D
【解析】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误．选D
10、C
【解析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.
【详解】由可得，
故过原点和交点的直线为即，
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①⑤
【解析】对于①函数，则=，所以函数是偶函数；故①对；
对于②若向量的夹角为，根据数量积定义可得，此时的向量应该为非零向量；故②错；
对于③=，所以与轴正方向的夹角的余弦值是-；故③错；
对于④终边在轴上的角的集合是；故④错；
对于⑤把函数的图像向右平移得到，故⑤对；
对于⑥函数=在上是增函数.故⑥错；
故答案为①⑤.
12、
【解析】根据不等式的解集可得、、为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.
【详解】由于满足，即，可得，
所以，，
所以，方程的两根分别为、，
而可化为，即，
所以，方程的两根分别为、，
，且不等式解集为，
所以，，解得，则，因此，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解、、分别为方程、的根，而两方程含有公共根，进而可得出关于实数的等式，即可求解.
13、
【解析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.
【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
故答案：.
14、
【解析】当时，，
当时，，
又，
如图所示：

当时，在处取得最大值，且，
令，则数列是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴，∴，
若时，恒成立，只需，当上，均有恒成立，
结合图形知：，∴，∴，
令，，
当时，，∴，∴，
当时，，，∴，
∴最大，∴，∴.
考点：1.函数图像；2.恒成立问题；3.数列的最值.
15、11
【解析】进行分数指数幂和对数式的运算即可
【详解】原式
故答案为11
【点睛】本题考查对数式和分数指数幂的运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题.
16、单调递增
【解析】求出函数单调递增区间，再判断作答.
【详解】函数的图象对称轴为，因此，函数的单调递增区间为，
而，所以函数在区间上的单调性是单调递增.
故答案为：单调递增

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤。
17、（1）

（2）
【解析】（1）求得集合，根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解；
（2）由，所以，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】（1）由题意，集合，
因为集合，则，
所以， .
（2）由题意，因为，所以，
又因为，，所以，
即实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集和补集的运算，以及利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合的基本运算，以及合理利用集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18、（1），；（2）.
【解析】（1）由图可求出，令，即可求出单调递减区间
（2）由题可得，则可求得值域.
【详解】(1)由题图，知，
所以，
所以.
将点(－1，0)代入，得.
因为，所以，
所以.
令,
得.
所以的单调递减区间为.
(2)当时，，
此时，则，
即的值域为.
【点睛】方法点睛：根据三角函数部分图象求解析式方法：
（1）根据图象的最值可求出A；
（2）求出函数的周期，利用求出；
（3）取点代入函数可求得.
19、（1），；
（2）.
【解析】（1）利用周期公式及正弦函数的性质即得；
（2）由，求出的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
∵函数，
∴最小正周期，
∵，，
∴当时，.
【小问2详解】
当时，，
∴当时，即时，，
当时，即时，，
∴在区间上的值域为.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）首先根据诱导公式化简，再上下同时除以 后，转化为正切表示的式子，求值；（2）首先利用诱导公式化简，再转化为齐次分式形式，转化为正切求值.
【详解】（1）原式，上下同时除以后，
得；
（2）原式，
上下同时除以后，
得
21、（1）是奇函数；证明见解析
（2）
【解析】（1）首先确定定义域，根据奇偶性定义可得结论；
（2）令，可求得的范围，进而可得的值域.
【小问1详解】
由得：，定义域为，关于原点对称；
，
，为奇函数；
【小问2详解】
令，
且，，或，
或，的值域为.