安徽省合肥市第八中学、阜阳一中2025-2026学年高二数学第一学期期末检测试题含解析.doc

安徽省合肥市第八中学、阜阳一中2025-2026学年高二数学第一学期期末检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．五行学说是中华民族创造的哲学思想.古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系.若从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，则这两种元素恰是相生关系的概率是（）

A. B.
C. D.
2．设，，，则，，大小关系是　　
A. B.
C. D.
3．在中，内角的对边分别为，若，则角为
A. B.
C. D.
4．命题“存在，”的否定是（）
A.存在， B.存在，
C.对任意， D.对任意，
5．如果双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. B.
C. D.
7．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
8．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（）
A.1 B.2
C.4 D.6
9．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）
A. B.
C. D.
10．圆与圆的位置关系为（ ）
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
11．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A. B.
C. D.
12．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（ ）
A.130 B.132
C.140 D.144
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线的倾斜角的取值范围是______.
14．某足球俱乐部选拔青少年队员，每人要进行3项测试．甲队员每项测试通过的概率均为，且不同测试之间相互独立，设他通过的测试项目数为X，则_________
15．已知数列满足：，且，记，若，则___________.（用表示）
16．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）.①当时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当时，S与的交点R满足；④当时，S为六边形；⑤当时，S的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，
（1）求的大小；
（2）若，．求的面积
18．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由
19．（12分）设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：
20．（12分）已知椭圆过点，离心率为

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点
①求证：；
②设OA，OB分别与椭圆相交于C，D两点，过点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：为定值
21．（12分）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线的距离为
（1）求圆的方程；
（2）若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且，求直线的方程
22．（10分）已知命题：，在下面①②中任选一个作为：，使为真命题，求出实数a取值范围.
①关于x的方程有两个不等正根；
②.
（若选①、选②都给出解答，只按第一个解答计分.）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先计算从金、木、水、火、土五种元素中任取两种的所有基本事件数，再计算其中两种元素恰是相生关系的基本事件数，利用古典概型概率公式，即得解
【详解】由题意，从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10个基本事件，其中两种元素恰是相生关系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5个基本事件，所以所求概率.
故选：C
2、A
【解析】构造函数，根据的单调性可得（3），从而得到，，的大小关系
【详解】考查函数，则，在上单调递增，
，（3），即，
，
故选：
【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题
3、A
【解析】因为，
那么结合，
所以cosA==，
所以A=，故答案为A
考点：正弦定理与余弦定理
点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.
4、D
【解析】特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可知正确答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：原命题的否定为：对任意，.
故选：D
5、D
【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点代入，进而求得答案.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，将代入得：，即双曲线方程为.
故选：D.
6、A
【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
7、D
【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.
【详解】根据题意，令，其中，则，
∵，∴，
∴在上为单调递减函数，
∴，即，，则错误；
，即，则错误；
，即，则错误；
，即，则正确；
故选：.
8C
【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解
【详解】由，得，
，又切线过点，
曲线在点处的切线方程为，
取，得，取，得
的面积等于
故选：C
9、A
【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求
【详解】，
即，

则
．即
，
则该双曲线的方程是：
故选：A
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.
10、C
【解析】写出两圆的圆心和半径，求出圆心距发现与两圆的半径和相等，所以判断两圆外切
【详解】圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径；圆的圆心为，半径，圆心距，所以两圆相外切
故选：C
11、D
【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
详解：因为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，故选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12、A
【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,
【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，
所以 ，
故，
故选:A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求出直线的斜率取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求出
【详解】可化为：，所以，由于，结合函数在上的图象，可知

故答案为：
【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系的应用，以及直线的一般式化斜截式，属于基础题
14、
【解析】根据二项分布的方差公式即可求出
【详解】因为，所以
故答案为：
15、
【解析】由可得，结合已知条件，利用裂项相消求和法即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，又，
所以.
故答案为：.
16、①②③⑤
【解析】①由如图当点向移动时，满足，只需在上取点满足，即可得截面为四边形， 如图所示，是四边形，故①正确；

②当时，即为中点，此时可得PQ∥AD，AP=QD= = ，故可得截面APQD为等腰梯形，等腰梯形，故②正确；

③当时，如图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，可证，由∽，可得，故可得，故③正确；

④由③可知当时，只需点上移即可，此时的截面形状仍然如图所示的，如图是五边形，故④不正确；

⑤当时，与重合，取的中点，连接，可证，且，可知截面为为菱形，故其面积为，如图是菱形，面积为，故⑤正确，

故答案为①②③⑤
考点：正方体的性质.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；
（2）首先由余弦定理求出，即可得到，再根据面积公式计算可得；
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理可得，
即，
又在中，，所以，，所以；
【小问2详解】
解：由余弦定理得，即，
解得，所以，又，
所以；.
18、（1）；
（2）存在，最大距离为.，理由见解析
【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.
【小问1详解】
由题设知：且，又，
∴，故椭圆C的方程为.
小问2详解】
联立直线与椭圆，可得：，
∴，即直线与椭圆相离，
∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，
令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，
∴，可得，
当，切线为，其与直线距离为；
当，切线为，其与直线距离为；
综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.
19、（1）答案见详解
（2），证明见解析
【解析】（1）求导得，，分类讨论参数a的范围即可判断单调区间；
（2）设，，联立整理得，构造得
，构造函数，结合导数判断单调性，进而得证.
小问1详解】
由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得
所以在单调递减，在单调递增；
【小问2详解】
证明：因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.
所以，可得,所以.
由（1）可得的极小值点为，则不妨设.
设，，则则，
即，整理得，所以，
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即.
20、（1）
（2）①证明见解析 ；②证明见解析
【解析】（1）根据离心率及过点求出求解即可；
（2）①设直线l的方程为，利用向量的数量积计算证明即可；②设直线CD方程为，利用求出，再由点O到直线CD的距离即可求证.
【小问1详解】
因为，
所以，
又因为，解得，，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
①证明：设，，
依题意，直线l斜率存在，设直线l的方程为，

联立方程，消去y得，
所以，
又因为，所以，
因此，
②证明：设，，设直线CD方程为，
因为，所以，
则，
联立，得
当时，
，
则

所以，即满足
则，即为定值
21、（1）或
（2）或

【解析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出圆的标准方程；
（2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，
因为圆心到直线的距离为，解得，
所以圆心的坐标为或，半径为，
因此，圆的标准方程为或.
【小问2详解】
解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.
因为，所以圆心到直线的距离.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意；
所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
所以，直线的方程为或，即或.
22、答案见解析
【解析】根据题意，分析、为真时的取值范围，又由复合命题真假的判断方法可得、都是真命题，据此分析可得答案.
【详解】解：选①时
由知在上恒成立，
∴，即
又由q：关于x的方程有两个不等正根，知
解得，
由为真命题知,解得.
实数a的取值范围.
选②时
由知在上恒成立，
∴，即
又由，知在上恒成立，
∴，
又，当且仅当时取“=”号，
∴，
由为真命题知，解得.
实数a的取值范围.