天津市第二十中学2025年高一上数学期末预测试题含解析.doc

天津市第二十中学2025年高一上数学期末预测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设集合，，，则（）
A. B.
C. D.
2．一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（ ）

A. B
C. D.
3．已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）
A. B.
C. D.
4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)
A.2 B.
C.1 D.
5．函数（，）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点（）

A.向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D.向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6．已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为（）
A. B.
C. D.4
7．若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数，则
A.最大值为2，且图象关于点对称
B.周期为，且图象关于点对称
C.最大值为2，且图象关于对称
D.周期为，且图象关于点对称
9．设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.
12．函数的零点个数是________.
13．已知两点,,以线段为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为____________.
14．已知圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为____.
15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦的长是，则弧田的弧长为________；弧田的面积是__

16．已知为的外心，，，，且；当时，______；当时，_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线l过点和直线:平行，圆O的方程为，直线l与圆O交于B，C两点.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l被圆O所截得的弦长.
18．计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：

（1）将表示为的函数，并写出定义域；
（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少?
19．如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使如图2所示.

（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.
20．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的单调区间；
（3）在（2）的件下，求的最小值，以及取得最小值时相应自变量x的取值.
21．在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上的圆经过点，但不经过坐标原点，并且直线与圆相交所得的弦长为4.
（1）求圆的一般方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据交集、补集的定义计算可得；
【详解】解：集合，，
，
则
故选：D
2、B
【解析】
由三视图可画出该三棱锥的直观图，如图 ，图中正四棱柱的底面边长为 ，高为 ，棱锥的四个面有三个为直角三角形，一个为腰长为 ，底长 的等腰三角形，其面积分别为： ，所以三棱锥的表面积为，故选B.
3、A
【解析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正弦值为它的高与母线的比值，结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正弦值.
【详解】如图，根据圆锥的性质得底面圆，
所以即为母线与底面所成角，
设圆锥的高为，则由题意，有
，所以，
所以母线的长为，
则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为.
故选：A

【点睛】本题考查了圆锥的体积，线面角的概念，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据圆锥的性质得即为母线与底面所成角，再根据几何关系求解.
4、D
【解析】圆心为,点到直线的距离为.故选D.
5、B
【解析】先利用图像求出函数的解析式，在对四个选项，利用图像变换一一验证即可.
【详解】由图像可知：，所以,所以，解得：.
所以.
又图像经过，所以，解得：，
所以

对于A：把图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到.故A错误；
对于B：把图象上所有点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.故B正确；
对于C：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.故C错误；
对于D：把图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到.故D错误；
故选：B
6、D
【解析】根据已知条件，推出，再根据，即可得出答案.
【详解】由题意得：，解得，所以，解得：
故选：D
【点睛】本题考查幂函数的解析式，属于基础题.
7、C
【解析】根据交集定义即可求出.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
8、A
【解析】

，∵，∴，则的最大值为；∵，∴周期；当时，图象关于某一点对称，∴当，求出，即图象关于对称，故选A
考点：三角函数的性质．
9、A
【解析】结合函数的图象及值域分析，当时，存在唯一的非零实数满足，然后利用一元二次不等式的性质即可得结论.
【详解】解：因为，所以由函数的图象可知其值域为，

又时，值域为；时，值域为，
所以的值域为时有两个解，
令，则，
若存在唯一的非零实数满足，则当时，，与一一对应，
要使也一一对应，则，，任意，即，
因为，
所以不等式等价于，即，
因，所以，所以，又，
所以正实数的取值范围为.
故选：A.
10、C
【解析】两圆公共弦的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆的圆心，从而可得答案.
【详解】解：AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，
圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为，
圆x2＋y2－6x＝0的圆心为，
则两圆圆心所在直线的方程为，即3x－y－9＝0.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.
【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.
故答案为：
12、3
【解析】令f(x)＝0求解即可.
【详解】，方程有三个解，故f(x)有三个零点.
故答案为：3.
13、
【解析】由以线段为直径的圆经过原点,则可得,
求得参数的值，然后由中点坐标公式求所求圆的圆心，用两点距离公式求所求圆的直径，
再运算即可.
【详解】解：由题意有,，
又以线段为直径的圆经过原点,
则,
则，解得，
即，
则的中点坐标为，即为，
又，
即该圆的标准方程为，
故答案为.
【点睛】本题考查了圆的性质及以两定点为直径的圆的方程的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
14、4
【解析】由扇形的面积公式列方程即可求解.
【详解】扇形的面积，即，解得：.
故答案为：.
15、 ①. ②.
【解析】在等腰三角形中求得，由扇形弧长公式可得弧长，求出扇形面积减去三角形面积可得弧田面积
【详解】∵弧田所在圆的半径为6，弦的长是，∴弧田所在圆的圆心角，
∴弧田的弧长为；
扇形的面积为，三角形的面积为，∴弧田的面积为.
故答案为：；
16、 (1). (2).
【解析】（1）由可得出为的中点，可知为外接圆的直径，利用锐角三角函数的定义可求出；（2）推导出外心的数量积性质，，由题意得出关于、和的方程组，求出的值，再利用向量夹角的余弦公式可求出的值.
【详解】当时，由可得，，
所以，为外接圆的直径，则，此时；
如下图所示：

取的中点，连接，则，所，
，同理可得.
所以，，整理得，
解得，，，因此，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查三角的外心的向量数量积性质的应用，解题的关键就是推导出，，并以此建立方程组求解，计算量大，属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】（1）通过直线l和直线:平行，得到斜率，再由直线l过点，用点斜式写出方程.
（2）先求出圆心O到直线l的距离，再根据弦长公式求解.
【详解】（1），
，
又因为直线l过点
∴直线l的方程为:，
即
（2）因为圆心O到直线l的距离为，
所以
【点睛】本题主要考查了直线方程的求法和直线与圆的位置关系中的弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18、（1），定义域为；
（2）当取30时，取最大值，最大值是1215.
【解析】（1）应用矩形的面积公式写出表示为的函数，并写出定义域.
（2）利用基本不等式求的最大值，并确定对应值.
【小问1详解】
依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积，
因为，解得
∴定义域为
【小问2详解】
由（1），，又，
所以，当且仅当，即时上式等号成立，
所以.
当时，.
当x为30时，y取最大值为1215.
19、（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）∵DE∥BC，由线面平行的判定定理得出
（2）可以先证，得出，∵ ∴
∴
(3)Q为的中点，由上问 ，易知,取 中点P，连接DP和QP，不难证出，∴∴ ,又∵∴
20、（1）
（2）的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）当时，的最小值为0
【解析】（1）根据周期公式计算即可.
（2）求出单调区间，然后与所给的范围取交集即可.
（3）根据（2）的结论，对与进行比较即可.
【小问1详解】
，
，故的最小正周期为.
【小问2详解】
先求出增区间，即：
令
解得
所以在区间上，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
【小问3详解】
由（2）所得到的单调性可得，，
所以在时取得最小值0.
21、（1）；（2）反射光线所在的直线方程的一般式为：.
【解析】（1）设圆，根据圆心在直线上，圆经过点，并且直线与圆相交所得的弦长为，列出关于的方程组，解出的值，可得圆的标准方程，再化为一般方程即可；（2）点关于轴的对称点，反射光线所在的直线即为，又因为，
利用两点式可得反射光线所在的直线方程，再化为一般式即可.
试题解析：（1）设圆，
因为圆心在直线上，所以有： ，
又因为圆经过点，所以有： ，
而圆心到直线的距离为 ，
由弦长为4，我们有弦心距.
所以有
联立成方程组解得：或 ，
又因为通过了坐标原点，所以舍去.
所以所求圆的方程为： ，
化为一般方程为： .
（2）点关于轴的对称点，
反射光线所在的直线即为，又因为，
所以反射光线所在的直线方程为： ，
所以反射光线所在的直线方程的一般式为： .