2025年山东省济南市山东师范大学附中数学高一第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025年山东省济南市山东师范大学附中数学高一第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，则（ ）
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
2．已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A. B.
C. D.
3．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是
A. B.
C. D.
4．已知关于的方程（）的根为负数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（）
A. B.
C.2 D.
6．若正实数，满足，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
7．函数在一个周期内的图象如图所示，则其表达式为

A. B.
C. D.
8．若角的终边经过点，则
A. B.
C. D.
9．函数的部分图象是（）
A. B.
C. D.
10．定义：对于一个定义域为的函数，若存在两条距离为的直线和，使得时，恒有，则称在内有一个宽度为的通道．下列函数：
①；②；
③；④.
其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为
A.①② B.②③
C.②④ D.②③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为______
12．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则的取值范围是______
13．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．设
①当时，t=___________；
②若，则t的最大值是___________
14．已知函数,现有如下几个命题：
①该函数为偶函数； 
②是该函数的一个单调递增区间；
③该函数的最小正周期为；
④该函数的图像关于点对称；
⑤该函数的值域为.
其中正确命题的编号为 ______
15．实数的值为___________.
16．一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_______cm³.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
85.00
79.00
73.60
68.74
64.36
60.42
设茶水温度从85°C开始，经过tmin后温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①；②
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
（2）若茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（参考数据：，）
18．某运营商为满足用户手机上网的需求，推出甲、乙两种流量包月套餐，两种套餐应付的费用（单位：元）和使用的上网流量（单位：GB）之间的关系如图所示，其中，都与横轴平行，与相互平行

（1）分别求套餐甲、乙的费用（元）与上网流量（GB）的函数关系式和；
（2）根据题中信息，用户怎样选择流量包月套餐，能使自己应付的费用更少？
19．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

1
2
3
4
5
6

（万个）

10

50

250

若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.（参考数据：）
20．某校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格

（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；
（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；
（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
21．计算求值：
（1）
（2）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】分别求出的范围即可比较.
【详解】，，
，，
，
.
故选：C.
2、A
【解析】待定系数求得幂函数解析式，再求对数运算的结果即可.
【详解】设幂函数为，由题意得，，
∴
故选：A
【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，涉及对数运算，属综合简单题.
3、B
【解析】
试题分析：取BC中点M ，则有,所以三棱锥 的体积是，选B
考点：三棱锥体积
【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解
4、D
【解析】分类参数，将问题转化为求函数在的值域，再利用指数函数的性质进行求解.
【详解】将化为，
因为关于的方程（）的根为负数，
所以的取值范围是在的值域，
当时，，则，
即的取值范围是.
故选：D.
5、A
【解析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.
【详解】由得，
∴.
故选：A.
6、B
【解析】由基本不等式有，令，将已知等式转化为关于的一元二次不等式，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题意，正实数满足，则，
令，可得，即，解得，或(舍去)，
所以当且仅当时，取得最小值2，
故选：B.
7、A
【解析】由图象得，周期，
所以，
故
又由条件得函数图象的最高点为，
所以，故，
又，
所以，
故函数的解析式为．选A
8、C
【解析】根据三角函数定义可得，判断符号即可.
【详解】解：由三角函数的定义可知，符号不确定，，
故选：C
【点睛】任意角的三角函数值：
（1）角与单位圆交点，则；
（2）角终边任意一点，则.
9、C
【解析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD，又，即可排除B.
【详解】因为，定义域为R，关于原点对称，
又，
故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD；
又，故排除B.
故选：C.
10、D
【解析】②③可由作图所得，④作图可知有一个宽度为1的通道，由定义可知比1大的通道都存在.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接利用圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，利用勾股定理求出的值，然后利用球体的表面积公式可得出答案
【详解】

设球的半径为，由圆柱的性质可得，
圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，
因为圆柱的底面半径为，高为2，
所以，，
因此，这个球的表面积为，故答案为
【点睛】本题主要圆柱的几何性质，考查球体表面积的计算，意在考查空间想象能力以及对基础知识的理解与应用，属于中等题
12、
【解析】由函数的奇偶性与单调性分析可得，结合对数的运算性质变形可得，从而可得结果
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，
所以，
又由，
则原不等式变形可得，
解可得：，
即的取值范围为，故答案为
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查了指数函数的单调性以及对数的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题
13、 ①.0 ②.
【解析】利用坐标法可得，结合条件及完全平方数的最值即得.
【详解】由题可建立平面直角坐标系，则，

∴，
∴，
∴当时，，
因为，要使t最大，
可取，即时，
t 取得最大值是.
故答案为：0；.
14、②③
【解析】由于为非奇非偶函数, ①错误.,此时,其在上为增函数, ②正确.由于,所以函数最小正周期为,③正确.由于,故④正确.当时,,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.
15、
【解析】直接根据指数幂运算与对数运算求解即可.
【详解】解：
故答案为：
16、
【解析】因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，
所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2
所以球的半径为：
所求球的体积为=
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）
【解析】（1）根据表中数据可知，随着时间的变化，温度越来越低直至室温，所以选择模型①，再列出三个方程，解出，即可得到函数模型的解析式；
（2）令，即可求解得出
【小问1详解】
由表中数据可知，随着时间的变化，温度越来越低直至室温，就不再下降，所以选择模型①：
由前 3 组数据可得解得，
所以函数模型为
【小问2详解】
由题意可知，即，
所以，所以刚泡好的茶水大约需要放置才能达到最佳饮用口感.
18、（1），
（2）答案见解析
【解析】（1）利用函数的图像结合分段函数的性质求出解析式；
（2）由，得，结合图像选择合适的套餐.
【小问1详解】
对于套餐甲：
当时，，
当时，设，可知函数图象经过点，，
所以，解得，所以
故
对于套餐乙：
当时，，
当时，根据题意，可设，
将代入可得，所以
故
【小问2详解】
由，可得，解得
由函数图象可知：
若用户使用的流量时，应选择套餐甲；
若用户使用的流量时，选择两种套餐均可；
若用户使用的流量，应选择套餐乙
19、（1）选择函数更合适，解析式为
（2）11个单位
【解析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据时的值估计即可；
（2）根据题意，进而结合对数运算求解即可.
【小问1详解】
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入，，不符合题意
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入得，符合题意
综上：所以选择函数更合适，解析式为
【小问2详解】
解：设至少需要个单位时间，
则，即
两边取对数：

因为，所以的最小值为11
至少经过11个单位时间不少于1亿个
20、（1）第4组的频率为0.2，作图见解析（2）样本中位数的估计值为，平均数为87.25（3）0.9
【解析】(1)利用频率和为1,计算可得答案,计算可得第四个矩形的高度为0.2÷5=0.04,由此作图即可;
(2) 设样本的中位数为x，由5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5解出即可得到中位数,根据77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10计算即可得到平均数;
(3)通过列举法可得所有基本事件的总数以及至少有一人是“优秀”的总数,再利用古典概型概率公式计算可得.
【详解】（1）其它组的频率为（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，所以第4组的频率为0.2
频率分布图如图：

（2）设样本的中位数为x，则5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，解得x，
∴样本中位数的估计值为，
平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；
（3）依题意良好的人数为40×0.4＝16人，优秀的人数为40×0.6＝24人
优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，
记“从这5人中选2人至少有1人是优秀”为事件M，
将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b，
从这5人中任选2人的所有基本事件包括：
AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件，
事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个，
所以P（M）0.9
【点睛】本题考查了频率分布直方图,考查了由频率分布直方图计算中位数和平均数,考查了古典概型的概率公式,属于中档题.
21、（1）
（2）1
【解析】（1）以实数指数幂运算规则解之即可；
（2）以对数运算规则解之即可.
【小问1详解】

【小问2详解】