四川省长宁县培风中学2026届数学高二上期末综合测试试题含解析.doc

四川省长宁县培风中学2026届数学高二上期末综合测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，都是实数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
3．平行直线：与：之间的距离等于（）
A. B.
C. D.
4．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为
A. B.
C. D.
5．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
6．已知函数在处的导数为，则（ ）
A. B.
C. D.
7．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）

A. B.
C. D.
8．黄金矩形是宽（）与长（）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是

A. B.
C. D.
9．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图象可能为（ ）

A. B.
C. D.
10．已知数列是等比数列，，数列是等差数列，，则的值是( )
A. B.
C. D.
11．已知曲线，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）
A. B.
C. D.
12．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（）
A.1 B.2
C.4 D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过点,的直线方程（一般式）为___________.
14．已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.
15．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，，在的准线上的投影分别为，两点，则__________.
16．在数列中，，，则数列中最大项的数值为
__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求
18．（12分）已知函数，（），
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值
（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围
19．（12分）已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，

（1）求证：∥平面PCD；
（2）求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值
21．（12分）已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点.
（1）若直线l的方程为，求线段AB的长；
（2）若直线l经过点P(-1，0)，点A关于x轴的对称点为A'，求证：A'、F、B三点共线.
22．（10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A和B的大小；
若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.
【详解】若，则，可得，所以，可得，
故充分性成立，
取，，满足，但，无意义得不出，
故必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
2、B
【解析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF，BK，然后求解三角形的面积即可
【详解】如图，设拋物线的准线为，过作于，过作于，过作于，
设，则根据抛物线的定义可得，
，，
的面积为，
故选：.

3、B
【解析】先由两条直线平行解出，再按照平行线之间距离公式求解.
【详解】，则：，即，距离为.
故选：B.
4、A
【解析】恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=.
考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；
5、A
【解析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.
【详解】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示

从而
因此在椭圆中长轴长，
短轴长，

，
故选：A
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和椭圆离心力的求解，属于基础题.
6、C
【解析】利用导数的定义即可求出
【详解】
故选：C
7、B
【解析】根据空间向量运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
8、C
【解析】设矩形的长，宽分别为,所以，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形,所以，设矩形的面积为,正方形的面积为,设在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是,则，故本题选C.
【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.
9、D
【解析】根据函数的单调性得到导数的正负，从而得到函数的图象.
【详解】由函数的图象可知，
当时，单调递增，则，所以A选项和C选项错误；
当时，先增，再减，然后再增，则先正，再负，然后再正，
所以B选项错误.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平，属于基础题.一般地，函数在某个区间可导，，则在这个区间是增函数；函数在某个区间可导，，则在这个区间是减函数.
10、B
【解析】根据等差数列和等比数列下标和的性质即可求解.
【详解】为等比数列，，
，，；
为等差数列，，
，，，
∴.
故选：B.
11、A
【解析】化简方程，得到，求出的范围作出曲线的图形，通过图象观察，即可得到原点距离的最小值
详解】解：即为
，
两边平方，可得，
即有，则
作出曲线的图形，如下：
则点与点或的距离最小，且为
故选：A

12、C
【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解
【详解】由，得，
，又切线过点，
曲线在点处的切线方程为，
取，得，取，得
的面积等于
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用两点式方程可求直线方程.
【详解】∵直线过点,，∴，∴，
化简得.
故答案为：.
14、1
【解析】通过平面向量基本定理推导出空间向量基本定理得推论.
【详解】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：
即，整理得：，
又，所以，，，从而.
故答案为：1
15、
【解析】设，则，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即得.
【详解】由抛物线：可知则焦点坐标为，
∴过焦点且斜率为的直线方程为,化简可得，
设，则，
由可得，
所以
则
故答案为：
16、
【解析】用累加法求出通项，再由通项表达式确定最大项.
【详解】当时，

，所以数列中最大项的数值为
故答案为:

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据离心率和最大距离建立等式即可求解；
（2）根据弦长，求出直线方程，解出点的坐标即可得解.
【详解】（1）椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3，所以，所以，
所以椭圆E的方程；
（2）A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，
所以线段AB所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程代入，
整理得：，设，
，
，

整理得：，
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，；
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，，
综上所述：.
18、
【解析】（1）求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出的值；（2）求k的取值范围．,先求出的解析式,由已知时，设,求导函数，确定函数的极值点，进而可得时，函数在区间上的最大值为；时，函数在在区间上的最大值小于，由此可得结论
试题解析：（1）,因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以,所以;
（2）当时，，，，令，则，令，得，所以在与上单调递增，在上单调递减，其中为极大值，所以如果在区间最大值为，即区间包含极大值点，所以
考点：导数的几何意义，函数的单调性与最值
19、
【解析】若真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得；若为真命题，利用分离参数法并结合基本不等式可得，再根据为真命题，为假命题，可知，一真命题一假命题；再分“为真命题，为假命题”和“为假命题，为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果.
【详解】解：若为真命题，则有解，所以，即；
若为真命题，则对一切恒成立,
令
则,当且仅当，即时，取得最小值；
所以，即；
又为真命题，为假命题，所以，一真命题一假命题；
当为真命题，为假命题时，，所以；
当为假命题，为真命题时，，所以；
综上所述，.
20、（1）详见解析；
（2）
【解析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量，易知平面ABCD的一个法向量为：，由求解.
【小问1详解】
证明：如图所示：

取PD的中点E，连接ME，CE，
因为底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以∥平面PCD；
【小问2详解】
建立如图所示空间直角坐标系：

则，
所以，
设平面MBC的一个法向量为，
则，即，
令，得，
易知平面ABCD的一个法向量为：，
所以，
所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为.
21、（1）8； （2）证明见解析.
【解析】（1）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理及弦长公式求线段AB的长；
（2）设为，联立抛物线由韦达定理可得，，应用两点式判断是否为0即可证结论.
【小问1详解】
由题设，联立直线与抛物线方程可得，则，，
∴，，
所以.
【小问2详解】
由题设，，又直线l经过点P(-1,0)，此时直线斜率必存在且不为0，可设为，
联立抛物线得：，则，，
又，故，而，
所以，
所以A'、F、B三点共线.
22、（1），（2）
【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小
利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值
【详解】解：，
由正弦定理得：，
，，
可得，即;

,
由
由余弦定理可得：，
，

如图所示:

设，,
在中由正弦定理,得,
由可知,,
所以:,
同理,
由于,
故，此时
故的面积的最小值为
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题