2025年山西省太原市小店区山西大学附属中学校高二上数学期末统考试题含解析.doc

2025年山西省太原市小店区山西大学附属中学校高二上数学期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）

A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
2．若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）
A.内的所有直线均与直线a异面 B.直线a与平面有公共点
C.内不存在与a平行的直线 D.内的直线均与a相交
3．某公司有320名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，320，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是（）
A.72号 B.150号
C.256号 D.300号
4．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则（）
A. B.
C D.
5．参加抗疫的300名医务人员，编号为1，2，…，300.为了解这300名医务人员的年龄情况，现用系统抽样的方法从中抽取15名医务人员的年龄进行调查.若抽到的第一个编号为6，则抽到的第二个编号为（ ）
A.21 B.26
C.31 D.36
6．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）

A. B.
C. D.
7．已知向量，，且与互相平行，则的值为（ ）
A.-2 B.
C. D.
8．已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A.66 B.72
C.132 D.198
9．圆关于直线对称圆的标准方程是（）
A B.
C. D.
10．当实数，m变化时，的最大值是（）
A.3 B.4
C.5 D.6
11．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）

A. B.
C. D.
12．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
P

则数学期望（）
A. B.
C.1 D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是__________.
14．一支车队有10辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．截止到18时，最后一辆车行驶了____小时，如果每辆车行驶的速度都是60km/h，这个车队各辆车行驶路程之和为______千米
15．以下数据为某校参加数学竞赛的名同学的成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，则这人成绩的第百分位数可以是______
16．展开式中，各项系数之和为1，则实数_______．（用数字填写答案）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表.

275
731.1
21.7
150
2368.36
30
表中，

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据.试求y关于x回归方程.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
18．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点

（1）求证：平面MND⊥平面PCD；
（2）求点P到平面MND的距离
19．（12分）（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（2）甲，乙，丙等7名同学站成一排，若甲和乙相邻，但甲乙二人都不和丙相邻，则共有多少种不同排法？
20．（12分）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4
（1）求抛物线C的方程
（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点
21．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(1) 证明：PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积
22．（10分）求满足下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；
（2）焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.
【详解】因为到直线的距离等于到点的距离，
所以到直线的距离等于到点的距离，
所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线
故选：D
2、B
【解析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.
【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.
A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；
B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；
C：平面内不存在与a平行的直线，错误，
当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；
D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.
故选：B
3、B
【解析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.
【详解】∵用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本
∴，即每隔16人抽取一人
∵54号被抽到
∴下面被抽到的是54+16×6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B
故选：B
4、A
【解析】根据黄金双曲线的定义直接列方程求解
【详解】双曲线中的，
所以离心率，
因为双曲线是黄金双曲线，
所以，两边平方得，
解得或（舍去），
故选：A
5、B
【解析】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，然后按系统抽样方法得解.
【详解】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，
则第一编号为006，第二个编号为.
故选：B.
6、A
【解析】可由三视图还原原几何体，然后根据题意的边角关系，完成体积的求解.
【详解】由三视图还原原几何体如图：

其中平面，，则该四面体的体积为.
故选：A.
7、A
【解析】应用空间向量坐标的线性运算求、的坐标，根据空间向量平行有，即可求的值.
【详解】由题设，，，
∵与互相平行，
∴且，则，可得.
故选：A
8、A
【解析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解.
【详解】因为等差数列的公差,
所以，则 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 或12时，该数列的前项和取得最大值，
最大值为，
故选：A
9、D
【解析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
且关于直线对称的点为，
所以所求圆的圆心为、半径为，
即所求圆的标准方程为.
故选：D.
10、D
【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.
【详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，
设，
因直线，即表示恒过定点，

根据圆的性质可得.
故选：D.
11、B
【解析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.
【详解】双曲线，，，
因为双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以，解得，
所以，，，.
故选：B
12、D
【解析】利用已知条件，结合期望公式求解即可
【详解】解：由题意可知：
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据题意，列方程计算即可
【详解】因为，所以，可转化为点到点和点的距离之和为，所以点在椭圆上，则，解得.
故答案为：
14、 ①.2.5#### ②.1950
【解析】通过分析，求出最后一辆车的出发时间，从而求出最后一辆车的行驶时间，这10辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解.
【详解】因为，所以最后一辆车出发时间为15时30分，则最后一辆车行驶时间为18-15.5=2.5小时，第一辆车行程为km，且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km，这10辆车的行驶路程可以看作首项为240，公差为-10的等差数列，则10辆车的行程路程之和为（km）.
故答案为：2.5,1950
15、
【解析】利用百分位数的求法直接求解即可.
【详解】解：将所给数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
数据量，
∵是整数，
∴
故答案为：.
16、
【解析】通过给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和，即可求出
详解】解：令，得各项系数之和为，解得
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)根据散点图看出样本点分布在一条指数函数的周围，即可判断；
(2)令，利用最小二乘法即可求出y关于x的线性回归方程.
【小问1详解】
根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为y与x之间的回归方程模型；
【小问2详解】
令，则，
；
，
∴；
∴y关于x的回归方程为.
18、（1）见解析；（2）
【解析】（1）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面、平面的法向量分别为，，和，1，，算出，可得，从而得出平面平面；
（2）由（1）中求出的平面法向量，，与向量，2，，利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点到平面的距离
【详解】（1）证明：平面，，、、两两互相垂直，
如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，
，0，，，1，，

，1，，，1，，，2，
设，，是平面的一个法向量，
可得，取，得，，
，，是平面的一个法向量，同理可得，1，是平面的一个法向量，
，，
即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，可得平面平面；
（2）解：由（1）得，，是平面的一个法向量，
，2，，得，
点到平面的距离

19、（1）；（2）960
【解析】（1）根据题意，设要求直线为，将点的坐标代入，求出的值，即可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析：先将除甲乙丙之外的4人全排列，再将甲乙看成一个整体，与丙一起安排在4人的空位中，由分步计数原理计算可得答案
【详解】解：（1）根据题意，设所求直线为，
又由所求直线经过点，即，则，
即所求直线；
（2）根据题意，分2步进行分析：
先将除甲乙丙之外的4人全排列，有种排法，
再将甲乙看成一个整体，与丙一起安排在4人的空位中，有种排法，
则有种排法
20、（1）；
（2）证明过程见解析.
【解析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；
（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可.
【小问1详解】
该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4，
所以有，所以抛物线C的方程为：；
【小问2详解】
该抛物线的准线方程为，
设直线l的方程为：，
与抛物线方程联立，得，
不妨设，因此，

直线的斜率为：，所以方程为：，
当时，，即，同理，
因为，所以有，而，
所以有，所以直线l的方程为：，因此直线l恒过.
【点睛】关键点睛：把直线l的方程为：，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
21、
【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积
试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD中点
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直
如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.

设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)
设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
可取n1＝.
又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，
由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即
＝，解得m＝.
因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V＝××××＝.
考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
22、（1）
（2）
【解析】（1）（2）直接由条件解出即可得到双曲线方程.
【小问1详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：
【小问2详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：