2025年福建省三明市永安三中高一上数学期末联考模拟试题含解析.doc

2025年福建省三明市永安三中高一上数学期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割，黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域．黄金分制的比值为无理数，该值恰好等于，则（）
A. B.
C. D.
2．已知的值域为，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3．下列说法中，正确的是（）
A.若，则
B.函数与函数是同一个函数
C.设点是角终边上的一点，则
D.幂函数的图象过点，则
4．幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数 y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么＝（ ）

A.0 B.1
C. D.2
5．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
6．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）

A. B.
C. D.
8．若偶函数在区间上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
9．植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）

A.(且 )
B.(，且 )
C.
D.
10．已知，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若，则___________.
12．已知函数的图象过原点，则___________
13．已知函数的图像恒过定点则的坐标为_____________.
14．函数的定义域是____________．（用区间表示）
15．已知是定义在上的奇函数, 当时, ,则的值为________________
16．，，则的值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是定义在上的偶函数，函数.
（1）求实数的值；
（2）若时，函数的最小值为.求实数的值.
18．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，.
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪个时间段实验室需要降温？
19． (1)已知，先化简f(α)，再求f()的值；
(2)若已知sin(－x)＝，且0＜x＜，求sin的值.
20．已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立.
21．如图所示，在直三棱柱中，，，，，点是中点
（）求证：平面
（）求直线与平面所成角的正切值

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据余弦二倍角公式即可计算求值.
【详解】∵＝，∴，
∴.
故选：C.
2、C
【解析】先求得时的值域，再根据题意，当时，值域最小需满足，分析整理，即可得结果.
【详解】当，，
所以当时，，
因为的值域为R，
所以当时，值域最小需满足
所以，解得，
故选：C
【点睛】本题考查已知函数值域求参数问题，解题要点在于，根据时的值域，可得时的值域，结合一次函数的图像与性质，即可求得结果，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
3、D
【解析】A选项，举出反例；B选项，两函数定义域不同；C选项，利用三角函数定义求解；D选项，待定系数法求出解析式，从而得到答案.
【详解】A选项，当时，满足，而，故A错误；
B选项，定义域为R，定义域为，两者不是同一个函数，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，设，将代入得：，解得：，所以，D正确.
故选：D
4、A
【解析】由题意得，代入函数解析式，进而利用指对互化即可得解.
【详解】BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了幂函数的图像及对数的运算，涉及换底公式，属于基础题.
5、B
【解析】设这10个数据分别为：，进而根据题意求出和，进而再根据平均数和方差的定义求得答案.
【详解】设这10个数据分别为：，根据题意，，
所以，.
故选：B.
6、C
【解析】根据三角恒等变换化简，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.
【详解】因为
，
因为在区间上单调递增，由，则，
则，解得，即；
当时，，要使得该函数取得一次最大值，
故只需，解得；
综上所述，的取值范围为.
故选：C.
第II卷
7、D
【解析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.
【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以
故选：D

8、D
【解析】
由偶函数定义可确定函数在上的单调性，由单调性可解不等式．
【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且，
所以，且函数在上单调递减.
由此画出函数图象，如图所示，

由图可知，的解集是.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
9、B
【解析】由散点图直接选择即可.
【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，
即B符合.
故选：B.
10、C
【解析】先对两边平方，构造齐次式进而求出或，再用正切的二倍角公式即可求解.
【详解】解：对两边平方得
，
进一步整理可得，
解得或，
于是
故选：C
【点睛】本题考查同角三角函数关系和正切的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、0
【解析】由，即可求出结果.
【详解】由知
，则，又因为，所以.
故答案：0.
12、0
【解析】由题意可知，函数经过坐标原点，只需将原点坐标带入函数解析式，即可完成求解.
【详解】因为的图象过原点，所以，即
故答案为：0.
13、
【解析】由过定点（0,1），借助于图像平移即可.
【详解】过定点（0,1），
而可以看成的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，
所以函数的图像恒过定点
即A
故答案为：
【点睛】指数函数图像恒过（0,1），对数函数图像恒过1,0）.
14、
【解析】函数定义域为
故答案为.
15、-7
【解析】由已知是定义在上的奇函数, 当时, ，所以，则=
点睛：利用函数奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：
①若奇函数在处有定义，则；
②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数偶函数=偶函数；
③特殊值验证法
16、#0.3
【解析】利用“1”的代换，构造齐次式方程，再代入求解.
【详解】，

故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
解析】（1）根据函数的奇偶性求得的值.
（2）结合指数函数、二次函数的性质求得.
【小问1详解】
的定义域为，
为偶函数，所以，
.
【小问2详解】
由（1）得.
.
令，
结合二次函数的性质可知：
当时，时，最小，即，
解得，舍去.
当时，时，最小，即，解得（负根舍去）.
当时，时，最小，即，
解得，舍去.
综上所述，.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）从中午点到晚上点.
【解析】（Ⅰ）利用辅助角公式化简函数的解析式为，由此可得出实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）由，得出，令，得到，解此不等式即可得出结论.
【详解】（Ⅰ），.
因此，实验室这一天的最大温差为；

（Ⅱ）当时，，
令，得，
所以，解得，
因此，实验室从中午点到晚上点需要降温.
【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
19、 (1)，；(2).
【解析】(1)利用诱导公式化简f(α)即可；
(2)－x和互余，所以sin=cos，再结合已知条件即可求解.
【详解】(1)；
f()＝；
(2),

.
20、证明见解析，时，等号成立.
【解析】根据重要不等式及均值不等式证明即可.
【详解】证明：因为均为正数，所以.
所以①
故，
而.②
所以原不等式成立.当且仅当①式和②式等号成立，
即当且仅当时，故当且仅当时，原不等式等号成立.
21、（1）见解析（2）.
【解析】（1）设BC1与CB1交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明OD∥AC1，利用线面平行的判定，可得AC1∥平面CDB1
（2）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，于是∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角．利用勾股定理求出DE，B1E，计算tan∠DB1E
【详解】（1）证明：设BC1与CB1交于点O，则O为BC1的中点
在△ABC1中，连接OD，∵D，O分别为AB，BC1的中点，
∴OD为△ABC1的中位线，
∴OD∥AC1，
又AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1
（2）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，
∴∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角
∵D是AB的中点，∴DE，BE，∴B1E
∴tan∠DB1E

【点晴】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题