2025年吉林省集安市第一中学高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025年吉林省集安市第一中学高一数学第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．与终边相同的角是
A. B.
C. D.
2．甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值.”
甲同学解答过程如下：
解：由，得.
因为，
所以.
所以
.
乙同学解答过程如下：
解：因为，
所以

.
则在上述两种解答过程中（ ）
A.甲同学解答正确，乙同学解答不正确 B.乙同学解答正确，甲同学解答不正确
C.甲、乙两同学解答都正确 D.甲、乙两同学解答都不正确
3．设是周期为的奇函数，当时， ，则
A. B.
C. D.
4．在中，，则等于
A. B.
C. D.
5．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A.13 B.14
C.15 D.16
6．已知函数，下列含有函数零点的区间是（）
A. B
C. D.
7．命题“对，都有”的否定为（）
A.对，都有 B.对，都有
C.，使得 D.，使得
8．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（）
A. B.
C. D.
9．已知关于的方程在区间上存在两个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
10．命题“，使.”的否定形式是（）
A.“，使” B.“，使”
C.“，使” D.“，使”
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．，，则_________
12．已知函数在一个周期内的图象如图所示，图中，，则___________.

13．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式为__________.

14．已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.
15．若，则= _________ .
16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在三棱锥中， 平面，，， ，分别是，的中点，，分别是，的中点.

（1）求证: 平面.
（2）求证:平面平面.
18．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点.
（1）求圆M的方程；
（2）若直线AB的斜率不存在，求△ABC面积的最大值；
（3）是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.
19．已知
（1）若，求的值；
（2）若，且，求实数的值
20．求下列各式的值：
（1）；
（2）.
21．如图，直三棱柱中，分别为的中点.

(1)求证：平面；
(2)已知，，，求三棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】与终边相同的角是.
当1时，
故选D

2、D
【解析】分别利用甲乙两位同学的解题方法解题，从而可得出答案.
【详解】解：对于甲同学，
由，得，
因为因为，
所以，
所以，故甲同学解答过程错误；
对于乙同学，
因为，
所以，故乙同学解答过程错误.
故选：D.
3、A
【解析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣）=﹣f（），再根据f（x）是周期函数，周期为2，可得f（）=f（﹣4）=f（），再代入0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），进行求解.
【详解】∵设f（x）是周期为2的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵f（﹣）=﹣f（），∵T=2，∴f（）= f（﹣4）=f（），
∵当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴f（）=2×（1﹣）=，
∴f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣，
故选A
【点睛】此题主要考查周期函数和奇函数的性质及其应用，注意所求值需要利用周期进行调节，此题是一道基础题.
4、C
【解析】分析：利用两角和的正切公式，求出的三角函数值，求出的大小，然后求出的值即可
详解：由，
则，
因为位三角形的内角，所以，所以，故选C
点睛：本题主要考查了两角和的正切函数的应用，解答中注意公式的灵活运用以及三角形内角定理的应用，着重考查了推理与计算能力
5、D
【解析】用分离参数法转化为恒成立，只需，
再利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】因为，所以，
所以恒成立，只需
因为，
所以，
当且仅当时，即时取等号.
所以.
即的最大值为16.
故选：D
6、C
【解析】利用零点存性定理即可求解.
【详解】解析：因为函数单调递增，且，
，
，
，
.
且
所以含有函数零点的区间为.
故选：C
7、D
【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】，都有的否定是，使得.
故选：D
8、D
【解析】利用定义法求出，再用二倍角公式即可求解.
【详解】依题意，角的终边经过点，则，于是.
故选：D
9、C
【解析】本题首先可根据方程存在两个不同的实数根得出、，然后设，分为、两种情况进行讨论，最后根据对称轴的相关性质以及的大小即可得出结果.
【详解】因为方程存在两个不同的实数根，
所以，，解得或，
设，对称轴为，
当时，
因为两个不同实数根在区间上，
所以，即，解得，
当时，
因为两个不同的实数根在区间上，
所以，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是，
故选：C.
10、D
【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使”的否定形式为：，使
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】将平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.
【详解】
，
，
，
，
，
所以，
所以.
故答案为：
12、
【解析】根据图象和已知信息求出的解析式，代值计算可得的值.
【详解】由已知可得，在处附近单调递增，且，故，
又因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，
所以，，可得，故，
因此，.
故答案为：.
13、
【解析】根据最大值得，再由图像得周期，从而得，根据时，取得最大值，利用整体法代入列式求解，再结合的取值范围可得.
【详解】根据图像的最大值可知，，由，可得，所以，再由得，，所以，因为，所以，故函数的解析式为.
故答案为：.
14、
【解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以解得.
考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.
15、
【解析】分析和的关系可知，然后用余弦的二倍角公式求解即可.
【详解】∵，
∴
.
故答案为：.
16、10
【解析】将原函数的零点转化为方程或的根，再作出函数y=f(x)的图象，借助图象即可判断作答.
【详解】函数的零点即方程的根，亦即或的根，
画出函数y=f(x)的图象和直线，如图所示，

观察图象得：函数y=f(x)的图象与x轴，直线各有5个交点，则方程有5个根，方程也有5个根，
所以函数的零点有10个.
故答案为：10

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析； （2）见解析.
【解析】(1)根据线面平行的判定定理可证明平面；
(2)根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面.
【详解】（1）证明:连结，在中， ，分别是，的中点，
为的中位线，
.
在，，分别是，的中点，
是的中位线，
，
.
平面，
平面.
（2）证明:，
，
，
，
，
平面且面
平面平面
【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，属于基础题型.
18、（1）
（2）
（3）存在，方程为
【解析】（1）根据圆与坐标轴相切表示出圆心坐标，结合已知可解；
（2）注意到当点C到直线AB距离最大值为圆心到直线距离加半径，然后可解;
（3）根据圆心与弦的中点的连线垂直弦，或利用点差法可得.
【小问1详解】
∵圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），
∴圆M的圆心为M（a，a），半径.
又圆心M在直线上，
∴，解得.
∴圆M的方程为：.
【小问2详解】
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，
∴由，解得.
∴.
易知圆心M到直线AB的距离，
∴点C到直线AB的最大距离为.
∴△ABC面积的最大值为.
【小问3详解】
方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点.
又∵，∴.

又∵直线MP的斜率为，
∴直线AB的斜率为-.
∴.
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.
方法二：由（2）易知当直线AB的斜率不存在时，，
∴此时点P不平分AB.
当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.
∵点A、B是圆M上的点，设，.
∴
由点差法得.
由点P是弦AB的中点，可得，
∴.
∴
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据同角三角函数的关系，平方化简可得，计算即可得答案.
（2）由题意得，可得或，根据的范围，可求得的值，代入即可得答案.
【小问1详解】
由，可得
所以，即，
所以
【小问2详解】
由，可得，
解得或，
而，所以，解得，
所以
20、（1）
（2）2
【解析】（1）结合指数的运算化简计算即可求出结果；
（2）结合对数的运算化简计算即可求出结果；
【小问1详解】

【小问2详解】

21、 (1)详见解析 (2)2
【解析】（1）证线面平行则需在面中找一线与已知线平行即可，也可通过证明面面平行得到线面平行（2）∵，,，
∴，∴.∵是直棱柱，∴棱柱的高为，∴棱柱的体积为.由体积关系可得
试题解析：
(1)设是的中点，
分别在中使用三角形的中位线定理得
.
又是平面内的相交直线，∴平面平面.
又平面，∴平面.
(2)∵，,，
∴，∴.
∵是直棱柱，∴棱柱的高为，
∴棱柱的体积为.
∴.