福建省福州市福建师大附中2025-2026学年高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

福建省福州市福建师大附中2025-2026学年高一数学第一学期期末教学质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则、、的大小关系为（）
A. B.
C. D.
2．已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（）
A. B.
C. D.
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为（）

A.y＝2sin B.y＝
C.y＝2sin D.y＝2sin
4．垂直于直线且与圆相切的直线的方程是
A
B.
C.
D.
5．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是
A. B.
C D.，
6．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（）
A. B.
C. D.
7．最小正周期为，且在区间上单调递增的函数是（）
A.y = sinx + cosx B.y = sinx - cosx
C.y = sinxcosx D.y =
8．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A. B.
C.（0，1） D.
9．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
10．某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是

A.1 B.
C. D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是_________
12．已知向量＝(1，2)、＝(2，λ)，，∥，则λ＝______
13．已知直线，则与间的距离为___________.
14．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________

15．若，且，则上的最小值是_________.
16．_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.
（1）当a=2时，求；
（2）若选，求实数a的取值范围.
18．如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点.

（Ⅰ）试确定点距离地面的高度（单位：）关于转动时间（单位：）的函数关系式；
（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点距离地面超过？
19．函数的最小值为.
（1）求；
（2）若，求a及此时的最大值.
20．已知函数
（1）当时，解方程；
（2）当时，恒成立，求的取值范围
21．已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】分析可知函数在上为增函数，比较、、的大小，结合函数的单调性与偶函数的性质可得出结论.
【详解】因为偶函数在上为减函数，则该函数在上为增函数，
，则，即，
，，所以，，故，
即.
故选D.
2、D
【解析】先由条件求出参数，得到在上的单调性，结合和函数为偶函数进行求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以，解得.
在上单调递减，且.
因为，所以，解得或.
故选：D
3、C
【解析】先从图象中看出A，再求出最小正周期，求出ω，代入特殊值后结合φ范围求出φ的值，得到答案.
【详解】由图象可知A＝2，因为－＝＝，所以T＝，ω＝2.当x＝－时，2sin＝2，即sin＝1，又|φ|<，解得φ＝.故函数的解析式为y＝2sin.
故选：C
4、B
【解析】设所求直线方程为3x+y+c=0，则d=，解得d=±10.
所以所求直线方程为3x+y+10=0或3x+y－10=0.
5、B
【解析】由偶函数在区间上单调递减，且，所以在区间上单调递增，且，即函数对应的图象如图所示，则不等式等价为或，解得或，故选B

考点：不等关系式的求解
【方法点晴】本题主要考查了与函数有关的不等式的求解，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象与性质、不等式的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解得中利用函数的奇偶性和单调性，正确作出函数的图象是解答的关键
6、B
【解析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.
【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；
D选项，余弦函数偶函数，故D不满足题意；
B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；
C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.
7、B
【解析】选项、先利用辅助角公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项先利用二倍角的正弦公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项直接利用正切函数图象的性质去判断即可.
【详解】对于选项,，最小正周期为,
单调递增区间为，即，
该函数在上单调递增，则选项错误；
对于选项,，最小正周期为,
单调递增区间为，即，
该函数在上为单调递增，则选项正确；
对于选项,，最小正周期为,
单调递增区间为，即，
该函数在上为单调递增，则选项错误；
对于选项,，最小正周期为,在为单调递增，则选项错误；
故选：.
8、C
【解析】函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数的取值范围
【详解】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点
作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是

故选：C．

9、D
【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．
【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故选D
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
10、B
【解析】
在正方体ABCD­A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1­BCB1，如图所示，该四面体的体积为.
故选B
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】反比例函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则，还要满足在上单调递增，故求出结果
【详解】函数
根据反比例函数的性质可得：在区间上单调递减
要使函数在区间上单调递减，则
函数在上单调递增
则，解得
故实数的取值范围是
【点睛】本题主要考查了函数单调性的性质，需要注意反比例函数在每个象限内是单调递减的，而在定义域内不是单调递减的
12、－2
【解析】首先由的坐标，利用向量的坐标运算可得，接下来由向量平行的坐标运算可得，求解即可得结果
【详解】∵，∴，
∵∥，，
∴，解得，
故答案为：－2
13、
【解析】根据平行线间距离直接计算.
【详解】由已知可得两直线互相平行，故，
故答案为：.
14、24:25
【解析】设三角形三边的边长分别为，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.
【详解】解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中，
设三角形三边的边长分别为，则大正方形的边长为5 ，所以大正方形的面积，
如图，将延长到，则，所以，又到的距离即为到的距离，
所以三角形的面积等于三角形的面积，即，

所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积，
所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为.
故答案为：24:25.
15、
【解析】将的最小值转化为求的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值
【详解】解：因为，且，
，当且仅当时，即，时等号成立；
故答案为：
16、
【解析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解
【详解】解：，
故答案为
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）当时，求出集合再根据并集定义求；
（2）选择有AB，列不等式求解即可；选择有同样列出不等式求解；选择因为，则或，求解即可
【详解】（1）当时，集合，，
所以；
（2）选择因为“” 是“”的充分不必要条件，所以AB，
因为，所以又因为，
所以等号不同时成立，
解得，
因此实数a的取值范围是.
选择因为，所以.
因为，所以.
又因为，
所以，解得，
因此实数a的取值范围是.
选择因为，
而，且不为空集，，
所以或，
解得或，
所以实数a取值范围是或
18、（1）（2）
【解析】（1）由图形知，以点O为原点，所在直线为y轴，过O且与垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，得出点P的纵坐标，由起始位置得即可得出在时刻tmin时P点距离地面的高度的函数；
（2）由（1）中的函数，令函数值大于70解不等式即可得出P点距离地面超过70m的时间
【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，

设是以轴正半轴为始边，（表示点的起始位置）为终边的角，
由题点的起始位置在最高点知，，
又由题知在内转过的角为，即，
所以以轴正半轴为始边，为终边的角为，
即点纵坐标，
所以点距离地面的高度关于旋转时间的函数关系式是，
化简得.
（2）当时，解得，
又，所以符合题意的时间段为或，即在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过.
【点睛】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的坐标系，得出相应的函数的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等），解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角，本题属于中档题
19、（1）
（2），的最大值5
【解析】（1）通过配方得，再通过对范围的讨论，利用二次函数的单调性即可求得；
（2）由于，对分与进行讨论，即可求得的值及的最大值
【小问1详解】
∵，
∴，且，
∴若，即，当时，；
若，即，当时，；
若，即，当时，.
综上所述，.
【小问2详解】
∵，
∴若，则有，得，与矛盾；
若，则有，即，解得或（舍），
∴时，，即，
∵，
∴当时，取得最大值5.
20、（1）
（2）
【解析】（1）当时，，求出，把原方程转化为指数方程，再利用换元法求解，即可求出结果；
（2）⇔|a+1|≥2x−12x，令，，则对任意恒成立，利用函数的单调性求出的最大值，再求解绝对值不等式可得实数的取值范围
【小问1详解】
解：当时，，
原方程等价于且，，
即，且，，所以，且
令，则原方程化为，整理得，
解得或，即或（舍去），所以．故原方程的解为
【小问2详解】
解：因为，所以，即
令，因为，所以，
则恒成立，即上恒成立，
令函数，因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增
因为，，所以，则，所以，
解得或．故的取值范围是
21、（1），或；
（2）
【解析】（1）当时，求出集合，，由此能求出，；
（2）推导出，的真子集，求出，，列出不等式组，能求出实数的取值范围
【小问1详解】
或，
当时，，
，
或；
【小问2详解】
若，且“”是“”的充分不必要条件，
，的真子集，
，，
，解得
实数的取值范围是