江苏省扬大附中东部分校2026届高一数学第一学期期末检测试题含解析.doc

江苏省扬大附中东部分校2026届高一数学第一学期期末检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列命题中，错误的是（　　）
A.平行于同一条直线的两条直线平行
B.已知直线垂直于平面内的任意一条直线，则直线垂直于平面
C.已知直线平面，直线，则直线
D.已知为直线，、为平面，若且，则
2．已知,则=（ ）
A. B.
C. D.
3．函数f(x)＝2x－5零点在下列哪个区间内（）.
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
4．已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5．给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减函数序号是（ ）
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
6．设常数使方程在区间上恰有三个解且，则实数的值为（　　）
A. B.
C. D.
7．若，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
8．已知集合 ，则
A B.
C. D.
9．函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（）
A. B.
C. D.
10．已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最小值为______.
12．函数，则________
13．如图，在空间四边形中，平面平面，，，且，则与平面所成角的度数为________

14．新高考选课走班“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门学科为必考科目，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、思想政治、地理四门科目选两门．已知在一次选课过程中，甲、乙两同学选择科目之间没有影响，在物理和历史两门科目中，甲同学选择历史的概率为，乙同学选择物理的概率为，那么在物理和历史两门科目中甲、乙两同学至少有1人选择物理的概率为______
15．已知，则的值为______.
16．设为锐角，若，则的值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，四棱锥的底面 是边长为1的菱形，，
E是CD中点，PA底面ABCD，
（I）证明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小

18．已知函数定义域是，.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数，求函数的最小值
19．已知函数，.
（1）利用定义证明函数单调递增；
（2）求函数的最大值和最小值.
20．已知函数.
（1）根据定义证明：函数在上是增函数；
（2）根据定义证明：函数是奇函数.
21．已知函数
（1）求的值;
（2）若对任意的，都有求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由平行线的传递性可判断A；由线面垂直的定义可判断B；由线面平行的定义可判断C；由线面平行的性质和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，可判断D.
【详解】解：由平行线的传递性可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；
由线面垂直的定义可得，若直线垂直于平面内的任意一条直线，则直线垂直于平面，故B正确；
由线面平行的定义可得，若直线平面，直线，则直线或，异面，故C错误；
若，由线面平行的性质，可得过的平面与的交线与平行，
又，可得，结合，可得，故D正确.
故选：C.
2、B
【解析】根据两角和的正切公式求出，再根据二倍角公式以及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入求值即可.
【详解】解：

解得

故选：
【点睛】本题考查三角恒等变换以及同角三角函数的基本关系，属于中档题.
3、C
【解析】利用零点存在定理进行求解.
【详解】因为单调递增，且；
因为，所以区间内必有一个零点；
故选：C.
【点睛】本题主要考查零点所在区间的判断，判断的依据是零点存在定理，侧重考查数学运算的核心素养.
4、C
【解析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值
【详解】∵是奇函数，∴，
又，∴是周期函数，周期为4
∴
故选：C
5、B
【解析】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.
【详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；
②，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；
③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；
④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；
综上所述，可选的序号为②③，
故选B.
【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.
6、B
【解析】解：分别作出y=cosx，x∈（，3π）与y=m的图象，如图所示，结合图象可得则﹣1＜m＜0，故排除C，D，再分别令m=﹣，m=﹣，求出x1，x2，x3，验证x22=x1•x3是否成立；
【详解】解：分别作出y=cosx，x∈（，3π）与y=m的图象，如图所示，方程cosx=m在区间（，3π）上恰有三个解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣1＜m＜0，故排除C，D，
当m=﹣时，此时cosx=﹣在区间（，3π），
解得x1=π，x2=π，x3=π，
则x22=π2≠x1•x3=π2，故A错误，
当m=﹣时，此时cosx=﹣在区间（，3π），
解得x1=π，x2=π，x3=π，
则x22=π2=x1•x3=π2，故B正确，

故选B
【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合的思想和函数与方程的思想，属于中档题.
7、D
【解析】根据对数的运算性质以及指数函数和对数函数的单调性即可判断
【详解】因为，而函数在定义域上递增，，所以
故选：D
8、C
【解析】分析：先解指数不等式得集合A，再根据偶次根式被开方数非负得集合B，最后根据补集以及交集定义求结果.
详解：因为，所以,
因为，所以
因此，
选C.
点睛：合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
9、C
【解析】分，两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和抛物线的开口方向和对称轴选出正确答案.
【详解】解：当时，增函数，开口向上，对称轴，
排除B,D；当时，为减函数，开口向下，
对称轴，排除A,
故选:C.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10、D
【解析】由任意角三角函数的定义可得结果.
【详解】依题意得.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值.
【详解】
所以令，则
因此当时，取最小值，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
12、
【解析】利用函数的解析式可计算得出的值.
【详解】由已知条件可得.
故答案为：.
13、
【解析】首先利用面面垂直转化出线面垂直，进一步求出线面的夹角，最后通过解直角三角形求出结果.
【详解】取BD中点O，连接AO，CO.
因为AB=AD，所以，又平面平面，所以平面.
因此，即为AC与平面所成的角，
由于，，所以,
又，所以
【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，属于基础题型.
14、
【解析至少1人选择物理即为1人选择物理或2人都选择物理，由题分别得到甲选择物理的概率与乙选择历史的概率，进而求解即可.
【详解】由题，设“在物理和历史两门科目中甲、乙两同学至少有1人选择物理”事件，则包括有1人选择物理，或2人都选择物理，
因为甲同学选择历史的概率为，则甲同学选择物理的概率为，
因为乙同学选择物理的概率为，则乙同学选择历史的概率为，
故，
故答案为：
15、
【解析】用诱导公式计算
【详解】，，

故答案为：
16、
【解析】由条件求得的值，利用二倍角公式求得和的值，再根据，利用两角差的正弦公式计算求得结果
【详解】∵为锐角，，∴，
∴，

故
，故答案为.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）同解析（II）二面角的大小为
【解析】解：解法一（I）如图所示, 连结

由是菱形且知，
是等边三角形.因为E是CD的中点，所以
又 所以
又因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以而 因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以
又所以 是二面角的平面角
在中,
故二面角的大小为
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系

则相关各点的坐标分别是：

（I）因为平面PAB的一个法向量是 所以和 共线.
从而平面PAB.又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）易知设 是平面PBE的一个法向量,
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是,
故二面角的大小为
18、（1）（2）
【解析】（1）由定义域，求得的定义域即为所求；（2）求函数的值域，再代入求最值
【详解】（1）的定义域是，即的定义域是，所以的定义域为；
（2），令，，，
即，所以，当时取到
【点睛】求函数值域要先准确求出函数的定义域，注意函数解析式有意义的条件，及题目对自变量的限制条件，复合函数相关问题要注意整体代换思想
19、（1）证明见详解；（2）最大值；最小值.
【解析】（1）任取、且，求，因式分解，然后判断的符号，进而可得出函数的单调性；
（2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值.
【详解】（1）任取、且，
因为，
所以，
，
，，，
，
即，
因此，函数在区间上为增函数；
（2）由（1）知，当时，函数取得最小值；
当时，函数取得最大值.
【点睛】关键点睛：求函数的最值利用函数的单调性是解决本题的关键.
20、⑴见解析;⑵见解析.
【解析】(1)利用单调性定义证明函数的单调性；（2）利用奇偶性定义证明函数奇偶性.
试题解析：
⑴设任意的，且，
则

，，即，
又，
，即，
在上是增函数
⑵，
,

，即
所以函数是奇函数.
点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性
21、（1）
（2）
【解析】（1）代入后，利用余弦的二倍角公式进行求解；（2）先化简得到，进而求出的最大值，求出实数的取值范围.
【小问1详解】

【小问2详解】

因为x∈，所以2x+∈，
所以当2x+=，即x=时，取得最大值.所以对任意x∈，等价于≤c.
故实数c的取值范围是.