2026届上海市静安区丰华中学数学高一第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2026届上海市静安区丰华中学数学高一第一学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数（）
A. B.
C. D.
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
3．已知函数为偶函数，则　　
A.2 B.
C. D.
4．若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．已知a＝20.1，b＝log43.6，c＝log30.3，则
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
6．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）
A. B.
C. D.
7．已知，，c=40.1，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，则|2+|=（　　）
A. B.4
C.5 D.
9．对于空间中的直线，以及平面，，下列说法正确的是（）
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
10．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
11．函数的图象为，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
④函数在区间内是增函数.
12．设，则________.
13．在空间直角坐标系中，设，，且中点为，是坐标原点，则__________
14．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为________.

15．若，且，则上的最小值是_________.
16．已知集合， ，则集合中子集个数是____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”
（1）若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；
（2）设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．）
18．在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完
（1）写出利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？
19．已知，是方程的两根.
（1）求实数的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
20．如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧

（1）求的值和的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值
21．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的单调区间；
（3）在（2）的件下，求的最小值，以及取得最小值时相应自变量x的取值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.
【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.
2、D
【解析】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.
本题选择D选项.
3、A
【解析】由偶函数的定义，求得的解析式，再由对数的恒等式，可得所求，得到答案
【详解】由题意，函数为偶函数，
可得时，，，
则，，
可得，
故选A
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，函数的奇偶性的运用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，正确求解集合A，再根据集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4、B
【解析】在上有解，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】即在上有解，
所以在上有解，由，当且仅当，即时取得等号，故
故选: B
5、A
【解析】直接判断范围，比较大小即可.
【详解】，，，故a＞b＞c.
故选：A.
6、D
【解析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.
【详解】若，则，所以，，，ABC均错；
因为，则，因为，则，即.
故选：D.
7、A
【解析】利用指对数函数的性质判断指对数式的大小.
【详解】由，
∴.
故选：A.
8、C
【解析】根据求出x的值，再利用向量的运算求出的坐标，最后利用模长公式即可求出答案
【详解】因为，所以 解得，
所以，因此，故选C
【点睛】本题主要考查向量的坐标预算以及模长求解，还有就是关于向量垂直的判定与性质
9、D
【解析】利用线面关系，面面关系的性质逐一判断
【详解】解：对于A选项，，可能异面，故A错误；
对于B选项，可能有，故B错误；
对于C选项，，的夹角不一定为90°，故C错误；
故对D选项，因为，，故，因为，故，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.
10、C
【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C
考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②④
【解析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象.
【详解】由题意，，令，，
当时，即函数的一条对称轴，所以①正确；
令，，当时，，所以是函数的一个对称中心，所以②正确；
当，，在区间内是增函数，所以④正确；
的图象向右平移个单位长度得到，与函数不相等，所以③错误.
故答案为：①②④.
12、2
【解析】先求出，再求的值即可
【详解】解：由题意得，，
所以，
故答案为：2
13、
【解析】，故
14、
【解析】以，，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.
【详解】由题意，以，，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，
设外接球的半径为，则
故.
故答案为：

【点睛】本题考查了多面体外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.
15、
【解析】将的最小值转化为求的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值
【详解】解：因为，且，
，当且仅当时，即，时等号成立；
故答案为：
16、4
【解析】根据题意，分析可得集合的元素为圆上所有的点，的元素为直线上所有的点，则中元素为直线与圆的交点，由直线与圆的位置关系分析可得直线与圆的交点个数，即可得答案
【详解】由题意知中的元素为圆与直线交点，因为圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离
∴直线与圆相交
∴集合有两个元素，故集合中子集个数为4
故答案为4
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及集合交集的意义，解答本题的关键是判定直线与圆的位置关系，以及运用集合的结论：一个含有个元素的集合的子集的个数为个.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；
（2）存在；，.
【解析】（1）由已知条件可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式；
（2）由偶函数的定义可得出，由函数的值域结合基本不等式以及对数函数的单调性可求得的值，进而可求得的值，即可得解.
【小问1详解】
解：因为为、的“函数”，
所以①，所以
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以②
联立①②解得，
【小问2详解】
解：假设存在实数、，使得为，的“函数”
则
①因为是偶函数，所以
即，即，
因为，整理得
因为对恒成立，所
②，
因为，当且仅当，即时取等号
所以，
由于的值域为，所以，且
又因为，所以，
综上，存在，满足要求
18、（1）；
（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.
【解析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.
【小问1详解】
由题意可知，
当时，，
当时，，
故有；
【小问2详解】
当时，，
即时，，
当时，有，
当且仅当时，,
因为，所以时，，
答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.
19、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据方程的根与系数关系可求，，然后结合同角平方关系可求，
（2）结合（1）可求，，结合同角基本关系即可求，
（3）利用将式子化为齐次式，再利用同角三角函数的基本关系，将弦化切，代入可求
【详解】解：（1）由题意可知，，，
∴，∴，∴，
（2）方程的两根分别为，，
∵，
∴，
∴，，
则，
（3）

【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式和万能公式的应用，属于基本知识的考查
20、（1）， ；（2）.
【解析】（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值
试题解析：
(1)由条件得.
∴.
∴曲线段的解析式为.
当时，.
又，
∴,
∴.
(2)由(1)，可知.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.
设,,“矩形草坪”的面积为

.
∵，
∴,
故当，即时，取得最大值
21、（1）
（2）的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）当时，的最小值为0
【解析】（1）根据周期公式计算即可.
（2）求出单调区间，然后与所给的范围取交集即可.
（3）根据（2）的结论，对与进行比较即可.
【小问1详解】
，
，故的最小正周期为.
【小问2详解】
先求出增区间，即：
令
解得
所以在区间上，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
【小问3详解】
由（2）所得到的单调性可得，，
所以在时取得最小值0.