天津市重点中学2026届高一上数学期末监测模拟试题含解析.doc

天津市重点中学2026届高一上数学期末监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）

A. B.
C. D.
2．心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）
A.0.021 B.0.221
C.0.461 D.0.661
3．已知函数，则等于
A.2 B.4
C.1 D.
4．若一元二次不等式的解集为，则的值为（　　）
A. B.0
C. D.2
5．设函数，其中，，，都是非零常数，且满足，则（）
A. B.
C. D.
6．不等式的解集为（）
A.{x|1＜x＜4} B.{x|﹣1＜x＜4}
C.{x|﹣4＜x＜1} D.{x|﹣1＜x＜3}
7．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
9．若幂函数的图象过点，则的值为（）
A.2 B.
C. D.4
10．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λμ0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量
①若2，则、线性相关；
②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；
③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；
④向量、线性相关的充要条件是、共线
上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）
12．已知函数是奇函数，当时，，若，则m的值为______.
13．各条棱长均相等的四面体相邻两个面所成角的余弦值为___________.
14．的值是__________
15．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是__________
16．计算：=_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设条件，条件
（1）在条件q中，当时，求实数x的取值范围.
（2）若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围.
18．已知直线及点.
（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.
19．已知函数，且的图象经过点
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）若，求证：在区间内存在零点
20．已知函数．
（1）求f（x）的定义域及单调区间；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
（3）设函数，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
21．已知.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据文氏图表示的集合求得正确答案.
【详解】文氏图表示集合为，
所以.
故选：A
2、A
【解析】由题意得出，再取对数得出k的值.
【详解】由题意可知，所以，解得
故选：A
3、A
【解析】由题设有，所以，选A
4、C
【解析】由不等式与方程的关系转化为，从而解得
【详解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，
∴，
解得，k＝﹣1，m＝﹣1，
故m+k＝﹣2，
故选：C
5、C
【解析】代入后根据诱导公式即可求出答案
【详解】解：由题，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题
6、B
【解析】把不等式化为，求出解集即可
【详解】解：不等式可化为，
即，
解得﹣1＜x＜4，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}
故选：B
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法是基础题
7、A
【解析】根据分段函数是上的增函数，则每一段都为增函数，且右侧的函数值不小于左侧的函数值求解.
【详解】函数是上增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是
故选：A.
8、D
【解析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集
【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为

故选：D
9、C
【解析】设，利用的图象过点，求出的解析式，将代入即可求解.
【详解】设，
因为的图象过点，
所以，解得：，
所以，
所以，
故选：C.
10、B
【解析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长
【详解】因为直观图正方形的边长为1cm，所以，

所以原图形为平行四边形OABC，其中，，
，
所以原图形的周长

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①④
【解析】利用和线性相关等价于和是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确
【详解】解：若、线性相关，假设λ≠0，则，故和是共线向量
反之，若和是共线向量，则，即λμ0，故和线性相关
故和线性相关等价于和是共线向量
①若2 ，则2 0，故和线性相关，故①正确
②若和为非零向量，⊥，则和不是共线向量，不能推出和线性相关，故②不正确
③若和线性相关，则和线性相关，不能推出若和线性相关，例如当时，
和可以是任意的两个向量．故③不正确
④向量和线性相关的充要条件是和是共线向量，故④正确
故答案为①④
【点睛】本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确和线性相关等价于和是共线向量，是解题的关键
12、
【解析】由奇函数可得,则可得,解出即可
【详解】因为是奇函数,,所以,即,解得
故答案为：
【点睛】本题考查利用奇偶性求值,考查已知函数值求参数
13、
【解析】首先利用图像作出相邻两个面所成角，然后利用已知条件求出正四面体相邻两个面所成角的两边即可求解.
【详解】由题意，四面体为正三棱锥，不妨设正三棱锥的边长为，过作平面，垂足为，取的中点，并连接、、、，如下图：

由正四面体的性质可知，为底面正三角形的中心，
从而，，
∵为的中点，为正三角形，
所以，，所以为正四面体相邻两个面所成角
∵，
∴易得，，
∵平面，平面，
∴，
故.
故答案为：.
14、
【解析】分析：利用对数运算的性质和运算法则，即可求解结果.
详解：由
.
点睛：本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15、
【解析】若任意，存在，使得成立，
只需，
∵，在该区间单调递增，即，
又∵，在该区间单调递减，即，
则，，
16、
【解析】
考点：两角和正切公式
点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）将代入，整理得，求解一元二次不等式即可；
（2）由题可知条件为，是的子集，列不等式组即可求解.
【小问1详解】
解：当时，条件，即，
解得，故的取值范围为：.
【小问2详解】
解：由题知，条件，条件，即，
∵是的充分不必要条件，故是的子集，
∴，解得，
故实数m的取值范围为.
18、 (1)证明见解析，定点坐标为；(2)15x＋24y＋2＝0.
【解析】（1）直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定点；
（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大，利用点斜式求直线方程即可.
试题解析：
（1）证明：直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，
由，
得，所以直线l恒过定点.
（2）由（1）知直线l恒过定点A，
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.
又直线PA的斜率，所以直线l的斜率kl＝－.
故直线l的方程为，
即15x＋24y＋2＝0.
19、（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）将点代入解析式求解；（2）根据函数单调性求解最大值；（3）零点存在性定理证明在区间内存在零点.
【小问1详解】
因为函数，且的图象经过点，
所以.
所以.
【小问2详解】
因为，所以.
所以在区间上单调递减.
所以在区间上的最大值是.
所以.
所以在区间上的最大值是.
【小问3详解】
因为，
所以.
因为，，
所以，又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得：在区间内存在零点
20、（1）定义域为（﹣1，3）；f（x）的单调增区间为（﹣1，1]，f（x）的单调减区间为[1，3）；（2）当x＝1时，函数f（x）取最大值1；（3）a≥﹣2．
【解析】（1）利用对数的真数大于零即可求得定义域，根据复合函数的单调性“同增异减”即可求得单调区间；
（2）根据函数的单调性即可求解；
（3）将f（x）≤g（x）转化为x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，即即可，结合基本不等式即可求解.
【详解】解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，
解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），
令t＝2x＋3﹣x2，则，∵为增函数，
x∈（﹣1，1]时，t＝2x＋3﹣x2为增函数；
x∈[1，3）时，t＝2x＋3﹣x2为减函数；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）
（2）由（1）知当x＝1时，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
则2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，
即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，
当x∈（0，3）时，x＋≥2，则﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣2
21、 (1)最小正周期，单调递减区间为；(2)最小值为0；最大值为3.
【解析】（1）将函数化为，可得最小正周期为，将作为一个整体，代入正弦函数的递减区间可得结果．（2）由，得，结合正弦函数的图象可得所求最值
试题解析：
（1）

∴函数的最小正周期
由，，
得，，
∴函数的单调递减区间为
（2）∵，
∴
∴，
∴当，即时，取得最小值为0；
当，即时，取得最大值为3.