吉林市第一中学2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

吉林市第一中学2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两条平行直线：与：间的距离为3，则（ ）
A.25或－5 B.25
C.5 D.21或－9
2．已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)
A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)
B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)
C∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
3．已知1与5的等差中项是，又1，，，8成等比数列，公比为，则的值为（ ）
A.5 B.4
C.3 D.6
4．若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，要使函数有三个零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是
A.若是偶数，则与不都是偶数
B.若是偶数，则与都不是偶数
C.若不是偶数，则与不都是偶数
D.若不是偶数，则与都不是偶数
7．下列三个命题：①“若，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则”；②若事件A与事件B互斥，则；③设命题p：若m是质数，则m一定是奇数，那么是真命题；其中真命题的个数为（）
A.3 B.2
C.1 D.0
8．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（ ）

A. B.
C. D.
9．直线恒过定点（ ）
A. B.
C. D.
10．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（ ）
A.7 B.10
C.12 D.14
11．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文
C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文
12．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（ ）
A.5 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果________

14．给出下列命题：
①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；
③若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；
④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直.
其中所有正确命题的序号为________.
15．从甲、乙、丙、丁4位同学中，选出2位同学分别担任正、副班长的选法数可以用表示为____________.
16．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接NF交抛物线C于点Q，则__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，，平面，，分别为棱，的中点.

（1）求证：；
（2）若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积.
18．（12分）已知圆，点
（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；
（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率
19．（12分）已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程
20．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程
21．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.

（1）求点到平面的距离；
（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.
22．（10分）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据平行直线的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为直线：与：平行，
所以有，
因为两条平行直线：与：间距离为3，
所以，或，
当时，；
当时，，
故选：A
2、C
【解析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.
【详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，
∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，
∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.
故选C
【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、A
【解析】由等差中项的概念列式求得值，再由等比数列的通项公式列式求解，则答案可求.
【详解】由题意，，则；
又1，，，8成等比数列，公比为，
，即,
,
故选：.
4、D
【解析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.
【详解】复数满足，表示复数对应的点的轨迹是以点为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于.
故选：D
5、A
【解析】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，数形结合即可求解.
【详解】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，
因为当时，，
所以，
可得在上递减，在递增，
所以，有最小值，且时，，
当趋向于负无穷时，趋向于0，但始终小于0，
当时，单调递减，
由图像可知：

所以要使函数有三个零点，则.
故选：A
6、C
【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数
考点：四种命题
7、B
【解析】写出逆否命题可判断①；根据互斥事件的概率定义可判断②；根据写出再判断真假可判断③.
【详解】对于①，“，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则”，故①错误；
对于②，满足互斥事件的概率求和的方法，所以②为真命题；
③命题p：若m是质数，则m一定是奇数.2是质数，但2是偶数，命题p是假命题，那么真命题
故选：B.
8、D
【解析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a，再利用离心率公式计算作答.
【详解】依题意，，的内切圆半径，由直角三角形内切圆性质知：
，由双曲线对称性知，，
于是得，即，又双曲线半焦距c=2，
所以双曲线的离心率.
故选：D
【点睛】结论点睛：二直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形内切圆半径.
9、A
【解析】将直线方程变形得，再根据方程即可得答案.
【详解】解：由得到：，
∴直线恒过定点
故选：A
10、A
【解析】可由椭圆方程先求出，在利用椭圆的定义求出，利用已知求解出，再取的中点，连接，利用中位线，即可求解出线段的中点到坐标原点的距离.
【详解】
因为椭圆，，所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.
故选：A.
11、C
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果.
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，
则，解得，
所以戊分得（文），己分得（文），
故选：C.
12、C
【解析】先求的平方后再求解即可.
【详解】
，
故，
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分。
13、132
【解析】根据程序框图模拟程序运行，确定变量值的变化可得结论
【详解】程序运行时，变量值变化如下：
，
判断循环条件，满足，，；
判断循环条件，满足，，；
判断循环条件，不满足，输出
故答案为：132
14、②③
【解析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②③；由空间中平面与平面的位置关系判断④
【详解】①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；
②根据线面垂直的性质知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；
③由线面垂直的性质知：若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行，故正确
④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，这两个平面相交或平行，故错误.
其中所有正确命题的序号为②③
故答案为：②③
15、
【解析】由题意知：从4为同学中选出2位进行排列，即可写出表示方式.
【详解】1、从4位同学选出2位同学，
2、把所选出的2位同学任意安排为正、副班长，
∴选法数为.
故答案为：.
16、
【解析】由题意画出图形，写出直线的方程，与抛物线方程联立求出的坐标，进一步求出的坐标，求得即可求解
【详解】解：如图，
由抛物线，得，，则，与抛物线联立得，解得、
，，
，，
，为等边三角形，
，

过作轴的垂线交轴于，
设，
，
，
，
，
在抛物线上，
，解得，
，
，，
则，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即证；
（2）利用坐标法，结合条件可求，然后利用体积公式即求.
【小问1详解】
，是的中点，
，
平面，平面，
，又，
平面，
平面，
；
【小问2详解】
，，
，
取的中点，连接，则，
平面，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

设，则，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
∵二面角的大小为，
，解得，
，
则三棱锥的体积.
18、（1）；（2）最大值为2，
【解析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由点与圆的位置关系可得，求解不等式组得答案；
（2）当时，圆的方程为，求出圆心与半径，设，则，分析可得面积的最大值，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式列式求得的值
【详解】解：（1）根据题意，圆，即，
若在圆外，则有，
解得：，
即的取值范围为；
（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，

设，则，
当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，
设直线的方程为，即，
则有，解得，
即直线的斜率
【点睛】易错点点睛：本题第一问解答过程中，容易忽视二元二次方程表示圆的条件，导致出错，解题的时候要考虑周全，考查运算求解能力，是中档题.
19、；
【解析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.
【详解】解：过的两点式方程为，整理得
即边所在直线的方程为，
边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，
由中点坐标公式可得点M的坐标为，即
过，的直线的方程为，即
整理得
所以边上中线所在直线的方程为
20、（1）
（2）
【解析】（1）依题意可得，即可求出、，即可求出椭圆方程；
（2）首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在，设直线方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出，即可得解；
【小问1详解】
解：依题意，解得，所以椭圆方程为；
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；
21、（1）
（2）线段上存在一点，当时，平面.
【解析】（1）设点到平面的距离为，则由 ，由体积法可得答案.
（2）由（1）连接,可得则从而平面，过点作交于点，连接，可证明平面平面，从而可得出答案.
【小问1详解】
由，，为中点，则
由平面，平面,则
又，且,则平面
又，则平面,且都在平面内
所以
所以,
取的中点，连接，则,所以,所以
所以
所以
则

设点到平面的距离为，则由
即,即
【小问2详解】
线段上是否存在一点，使平面.
由（1）连接,则四边形为平行四边形，则
过点作交于，则
为中点，则为的中点,即
又平面，则平面
过点作交于点，连接，则,即
又平面,所以平面
又，所以平面平面
又 平面,所以平面
所以线段上存在一点，当时，平面.

22、（1）证明见解析；（2）；（3）或
【解析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.
试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.

（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，
则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.
因为平面BDE，所以MN//平面BDE.
（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.
因此有，于是.
所以，二面角C—EM—N的正弦值为.
（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.
所以，线段AH的长为或.
【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成角
【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.