吉林省蛟河市第一中学2026届数学高一上期末达标检测试题含解析.doc

吉林省蛟河市第一中学2026届数学高一上期末达标检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知幂函数的图象过点，则等于（）
A. B.
C. D.
2．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
3．设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
4．下列四组函数中，定义域相同的一组是（）
A.和 B.和
C.和 D.和
5．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）
A. B.
C.3 D.2
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中，为真命题的是
A①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
7．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小
A. B.
C. D.
8．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是
A. B.
C. D.
9．半径为2的扇形OAB中，已知弦AB的长为2，则的长为　　
A. B.
C. D.
10．化简的值是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则满足条件的角的集合为_________.
12．函数的值域为_______________.
13．设，，依次是方程，，的根，并且，则，，的大小关系是___
14．经过两点的直线的倾斜角是__________ .
15．已知为第二象限角，且，则_____
16．若，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，正方体的棱长为1，CB′∩BC′＝O，

求：（1）AO与A′C′所成角的度数；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）证明平面AOB与平面AOC垂直.
18．对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”满足函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|fx）=x}，B={x|f[f（x）]=x}
（Ⅰ）设f（x）=x2-2，求集合A和B；
（Ⅱ）若f（x）=x2-a，且满足∅A=B，求实数a的取值范围
19．已知函数的部分图象如下图所示.

（1）求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域.
20．假设你有一笔资金用于投资，年后的投资回报总利润为万元，现有两种投资方案的模型供你选择.
（1）请在下图中画出的图像；

（2）从总利润的角度思考，请你选择投资方案模型.
21．已知函数， .
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若，函数为奇函数，且对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可.
【详解】因为是幂函数，所以，又因为函数的图象过点，
所以，因此，
故选：A
2、C
【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.
【详解】如图所示：

设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
3、D
【解析】由，则,再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案.
【详解】由，则
， ，
所以
故选：D
4、C
【解析】根据根式、分式、对数的性质求各函数的定义域即可.
【详解】A：定义域为，定义域为，不合题设；
B：定义域为，定义域为，不合题设；
C：、定义域均为，符合题设；
D：定义域为，定义域为，不合题设；
故选：C.
5、D
【解析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可得解.
【详解】设扇形半径,易得,则由已知该扇形弧长为.
记扇形面积为,则,
当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形圆心角为，则
故选：D
6、D
【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择
【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故选D
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题
7、B
【解析】连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用锐角三角函数知识可以求出的大小.
【详解】连接，在长方体中，显然有平面ABCD，

所以是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本题选B.
【点睛】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.
8、B
【解析】
不妨设，由，得，结合图象可知，，则，令，可知在上单调递减，故，则，故选B.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质
9、C
【解析】由已知可求圆心角的大小，根据弧长公式即可计算得解
【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，

∵半径为2的扇形OAB中，弦AB的长为2，
∴，
∴
故选C
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题
10、B
【解析】利用终边相同角同名函数相同，可转化为求的余弦值即可.
【详解】.故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数中终边相同的角三角函数值相同及特殊角的三角函数值，属于容易题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据特殊角的三角函数值与正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以或，
解得或，
因为，所以或，即；
故答案为：
12、
【解析】先求出，再结合二次函数的内容求解.
【详解】由得，，
故当时，有最小值，当时，有最大值.
故答案为：.
13、
【解析】本题首先可以根据分别是方程的根得出，再根据即可得出，然后通过函数与函数的性质即可得出，最后得出结果
【详解】因为，，，
所以，
因为，，
所以，，
因为函数与函数都是单调递增函数，前者在后者的上方，
所以，
综上所述，
【点睛】本题考查方程的根的比较大小，通常可通过函数性质或者根的大致取值范围进行比较，考查函数思想，考查推理能力，是中档题
14、
【解析】经过，两点的直线的斜率是
∴经过，两点的直线的倾斜角是
故答案为
15、
【解析】根据同角三角函数关系结合诱导公式计算得到答案.
【详解】为第二象限角，且，故，
.
故答案为：.
16、
【解析】由二倍角公式，商数关系得，再由诱导公式、商数关系变形求值式，代入已知可得
【详解】，所以，

故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）30°
（2）
（3）见解析
【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求AO与A′C′所成角的度数；（2）利用向量法求AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC的法向量垂直.
【详解】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′0，1，1），
（，1，），（﹣1，1，0），
设AO与A′C′所成角为θ，
则cosθ，∴θ＝30°，
∴AO与A′C′所成角为30°.
（2）∵（），面ABCD的法向量为（0，0，1），
设AO与平面ABCD所成角为α，
则sinα＝|cos|，
cosα，
∴tanα.
∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.
（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），
设平面AOB的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，0，1），
设平面AOC的法向量（a，b，c），
则，取a＝1，得（1，1，﹣1），
∵1+0﹣1＝0，
∴平面AOB与平面AOC垂直.

【点睛】本题主要考查空间角的求法和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18、（Ⅰ）A={-1，2}；B={-，-1，，3}（Ⅱ）[-，]
【解析】（Ⅰ）由f（x）=x得x2-x-2=0，解得x=-1，x=2，故A={-1，2}；由f（f（x））=x，可得f（x2-2）=x，即（x2-2）2-（x2-2）-2=x；求解x可得集合B.
（Ⅱ）理解A=B时，它表示方程x2-a=x与方程（x2-a）2-a=x有相同的实根，根据这个分析得出关于a的方程求出a的值
【详解】（Ⅰ）由f（x）=x得x2-x-2=0，解得x=-1，x=2，故A={-1，2}；
由f（f（x））=x，可得f（x2-2）=x，即（x2-2）2-（x2-2）-2=x；
即x4-2x3-6x2+6x+9=0，
即（x+1）（x-3）（x2-3）=0，解得x=-1，x=3，x=，x=-，故B={-，-1，，3}；
（Ⅱ）∵∅A=B，
∴x2-a=x有实根，即x2-x-a=0有实根，则△=1+4a≥0，解得a≥-
由（x2-a）2-a=x，即x4-2ax2-x+a2-a=0的左边有因式x2-x-a，
从而有（x2-x-a）（x2+x-a+1）=0
∵A=B，
∴x2+x-a+1=0要么没有实根，要么实根是方程x2-x-a=0的根
若x2+x-a+1=0没有实根，则a＜；
若x2+x-a+1=0有实根且实根是方程x2-x-a=0的根，
由于两个方程的二次项系数相同，一次项系数不同，
故此时x2+x-a+1=0有两个相等的根-，此时a=
方程x2-x-a=0可化为：方程x2-x-=0满足条件，
故a的取值范围是[-，]
【点睛】本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想
19、（1），递增区间为；
（2）.
【解析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.
（2）由三角函数的图象变换，求得，根据的图象关于直线对称，求得的值，得到结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由图象可知，，
所以，所以，
由图可求出最低点的坐标为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
由，可得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）由题意知，函数，
因为的图象关于直线对称，
所以，即，
因为，所以，所以.
当时，，可得，
所以，即函数的值域为.
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
20、（1）作图见解析（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）根据指数函数描出几个特殊点，用平滑的曲线连接即可.
（2）结合（1）中的图像，分析可得对于不同的值进行讨论即可求解.
【详解】（1）

（2）由图可知当时，；
当时，
当时，；
当时，；
当时，；
所以当资金投资2年或4年时两种方案的回报总利润相同；
当资金投资2年以内或4年以上，按照模型回报总利润为最大；
当资金投资2年以上到4年以内，按照模型回报总利润最大.
【点睛】本题考查了指数函数、二次函数模型的应用，属于基础题.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）由函数的定义域为，得到恒成立，即恒成立，分类讨论，即可求解.
（2）根据题意，转化为，利用单调性的定义，得到在R上单调递增，求得，得出恒成立，得出恒成立，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）由函数定义域为，
即恒成立，即恒成立，
当时，恒成立，因为，所以，即；
当时，显然成立；
当时，恒成立，因为，所以，
综上可得，实数的取值范围.
（2）由对任意，存在，使得，可得，
设，因为，所以，
同理可得，
所以
，
所以，可得，
即，所以在R上单调递增，所以，
则，即恒成立，
因为，所以恒成立，
当时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
所以，解得，所以；
当时，显然成立；
当时，恒成立，没有最大值，不合题意，
综上，实数的取值范围.
【点睛】利用函数求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.