2025年重庆外国语学校数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

2025年重庆外国语学校数学高一上期末质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，且，则的值可能为（ ）
A. B.
C.0 D.1
2．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
A. B.
C. D.
3．下列函数中，为偶函数的是（）
A. B.
C. D.
4．如图，在正四棱柱中底面是正方形的直棱柱，侧棱，，则二面角的大小为（ ）

A.30° B.45°
C.60° D.90°
5．如果函数对任意的实数x，都有，且当时，，那么函数在的最大值为　　
A.1 B.2
C.3 D.4
6．下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
7．定义在上的奇函数满足，若，，则（ ）
A. B.0
C.1 D.2
8．已知点在第二象限，则角的终边所在的象限为
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9．设集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，则AB中所有元素之积
A.-8
B.-16
C.8
D.16
10．函数的部分图象如图所示，则可能是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上,其中.若，则的值是____________.
12．已知函数，则函数零点的个数为_________
13．设是以2为周期的奇函数，且，若，则的值等于___
14．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.
15．若“”是“”的必要条件，则的取值范围是________
16．已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；
（3）解关于的不等式.
18．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由；
（2）求出（1）中所选函数模型的函数解析式；
（3）根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？
19．已知二次函数满足，且.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）当时，函数与的图像没有公共点，求实数的取值范围.
20．完成下列两个小题
（1）角为第三象限的角，若，求的值；
（2）已知角为第四象限角，且满足，则的值
21．已知，向量，，记函数，且函数的图象相邻两对称轴间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】化简集合得范围，结合判断四个选项即可
【详解】集合，四个选项中，只有，
故选：C
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
2、A
【解析】,所以，故选A.
考点：集合运算.
3、D
【解析】利用函数的奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】A，因为函数定义域为：，且，所以为奇函数，故错误；
B，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；
C，，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；
D，因为函数定义域为：R，，所以函数为偶函数，故正确；
故选：D.
4、C
【解析】连接AC，BD，交点为O，连接，则即为二面角的平面角，再求解即可.
【详解】解：连接AC，BD，交点为O，连接，
∵，，，
∴平面，
即即为二面角的平面角，
∵四棱柱中底面是正方形的直棱柱，，，
∴，
则，
∴.
故选：C

【点睛】本题考查了二面角的平面角的作法，重点考查了运算能力，属基础题.
5、C
【解析】由题意可得的图象关于直线对称，由条件可得时，为递增函数，时，为递减函数，函数在递减，即为最大值，由，代入计算可得所求最大值
【详解】函数对任意的实数x，都有，
可得的图象关于直线对称，
当时，，且为递增函数，
可得时，为递减函数，
函数在递减，可得取得最大值，
由，
则在的最大值为3
故选C
【点睛】本题考查函数的最值求法，以及函数对称性和单调性，以及对数的运算性质的应用，属于中档题．将对称性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据对称性判断出函数在对称区间上的单调性(轴对称函数在对称区间上单调性相反，中心对称函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性求解.
6、B
【解析】根据正弦、余弦、正切函数的周期性和单调性逐一判断即可得出答案.
【详解】解：对于A，函数的最小正周期为，不符合题意；
对于B，函数的最小正周期为，且在区间上单调递减，符合题意；
对于C，函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，不符合题意；
对于D，函数的最小正周期为，不符合题意.
故选：B.
7、C
【解析】首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.
【详解】由已知为奇函数，得，
而，
所以，
所以，即的周期为.
由于，，，
所以，
，
，
.
所以，
又，
所以.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.
8、D
【解析】由题意利用角在各个象限符号，即可得出结论.
【详解】由题意，点在第二象限，
则角的终边所在的象限位于第四象限，故选D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9、C
【解析】∵集合A={-2，1}，B={-1，2}，
定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，
∴AB={2，-4，-1}，
故AB中所有元素之积为：2×（-4）×（-1）=8
故选C
10、A
【解析】先根据函数图象，求出和，进而求出，代入特殊点坐标，求出，，得到正确答案.
【详解】由图象可知：，且，所以，不妨设：，将代入得：，即，，解得：，，当时，，故A正确，其他选项均不合要求
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##-0.4
【解析】根据函数的周期性及可得的值，进而利用周期性即可求解的值.
【详解】解：因为是定义在上且周期为2的函数，在区间上,
所以，，
又，即，解得，
所以，
故答案为：.
12、
【解析】解方程，即可得解.
【详解】当时，由，可得（舍）或；
当时，由，可得.
综上所述，函数零点的个数为.
故答案为：.
13、
【解析】先利用求得的值，再依据题给条件用来表示，即可求得的值
【详解】∵，∴，
又∵是以2为周期的奇函数，
∴
故答案为：
14、
【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，
则不等式可化为，则，，解得
15、
【解析】根据题意解得：，得出，由此可得出实数的取值范围.
【详解】根据题意解得：，
由于“”是“”必要条件，则，.
因此，实数的取值范围是：.
故答案为：.
16、5
【解析】根据可得周期，再结合偶函数，可将中的转化到内，可得的值.
【详解】因为，所以，
所以，即函数的一个周期为4，
所以，
又因为是定义在上的偶函数，
所以，
因当，，所以，所以.
故答案为：2.5.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）奇函数，证明见解析；（2）在上是减函数．最大值为6，最小值为-6； （3）答案不唯一，见解析
【解析】（1）令，求出，再令，由奇偶性的定义，即可判断；
（2）任取，则．由已知得，再由奇函数的定义和已知即可判断单调性，由，得到，，再由单调性即可得到最值；
（3）将原不等式转化为，再由单调性，即得，即，再对b讨论，分，，，，共5种情况分别求出它们的解集即可.
【详解】（1）令，则，即有，
再令，得，则，
故为奇函数；
（2）任取，则．由已知得，
则，
∴，∴在上是减函数
由于，则，，．由在上是减函数，得到当时，的最大值为，最小值为；
（3）不等式，即为.
即，即有，
由于在上是减函数，则，即为，
即有，
当时，得解集为；
当时，即有，
①时，，此时解集为，
②当时，，此时解集为，
当时，即有，
①当时，，此时解集为，
②当时，，此时解集为
【点睛】本题考查抽象函数的基本性质和不等式问题，常用赋值法探索抽象函数的性质，本题第三小问利用函数性质将不等式转化为含参的一元二次不等式的求解问题，着重考查分类讨论思想，属难题.
18、（1），理由见解析
（2）
（3）当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为
【解析】（1）由表格数据判断合适的函数关系，
（2）代入数据列方程组求解，
（3）分别表示在国道与高速路上的耗电量，由单调性求其取最小值时的速度.
【小问1详解】
若选，则当时，该函数无意义，不合题意
若选，显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意
故选择
【小问2详解】
选择，由表中数据得，
解得，所以当时，
【小问3详解】
由题可知该汽车在国道路段所用时间为，
所耗电量，
所以当时，
该汽车在高速路段所用时间为，
所耗电量，
易知在上单调递增，所以
故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为
19、（1）
（2）
【解析】（1）通过已知得到方程组，解方程组即得二次函数的解析式，再利用二次函数的图象求函数的值域得解；
（2）求出，等价于，求出二次函数最小值即得解.
【小问1详解】
解：设、
∴，∴，
∴，，
又，∴，∴.
∵对称轴为直线，，，，
∴函数的值域.
【小问2详解】
解：由（1）可得：
∵直线与函数的图像没有公共点
∴，
当时，
∴，∴.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据同角的基本关系和角在第三象限，即可求出结果.
（2）对两边平方，以及，可得，再根据角为第四象限角，，可得，再由，即可求出结果.
【小问1详解】
解：因为，所以，即，
又，所以，所以.
又角为第三象限的角，所以；
【小问2详解】
解：因为，所以，
所以，即
又角为第四象限角，，所以，
所以
所以.
21、（1）.
（2）
【解析】（1）化简的解析式，并根据图象相邻两对称轴间的距离求得.
（2）利用换元法，结合二次函数零点分布的知识，列不等式组来求得的取值范围.
【小问1详解】

，
由于函数的图象相邻两对称轴间的距离为，
所以，所以.
【小问2详解】
，
或，
，
，所以直线是的对称轴.
依题意，关于的方程在上有三个不相等的实数根，
设，
则，设，
则的两个不相等的实数根满足①或②，
对于①，，
此时，由解得，不符合.
对于②，，即.
所以的取值范围是.