广西壮族自治区百色市广西田阳高中2025-2026学年高一上数学期末复习检测试题含解析.doc

广西壮族自治区百色市广西田阳高中2025-2026学年高一上数学期末复习检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，且满足，则的最小值为（）
A.2 B.3
C. D.
2．如图所示，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（）

A. B.
C D.
3．已知向量，，且，那么（）
A.2 B.-2
C.6 D.-6
4．的值为
A. B.
C. D.
5．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则（）
A. B.
C. D.
6．下列函数中，在区间单调递增的是（）
A. B.
C. D.
7．已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是
A. B.
C. D.
8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为　　
A. B.
C. D.
9．已知某种树木的高度（单位：米）与生长年限t（单位：年，）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型：，其中为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为（ ）
A.2年 B.3年
C.4年 D.5年
10．函数，的图象形状大致是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知点，若，则点的坐标为_
12．已知函数，，则函数的最大值为______.
13．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，___________.
14．若函数是幂函数，则函数（其中，）的图象过定点的坐标为__________
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________.
16．如图，已知△和△有一条边在同一条直线上，，，，在边上有个不同的点F,G，则的值为______

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数
（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值
18．如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
19．函数中角的终边经过点，若时，的最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间.
20．已知函数是上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若关于的方程在区间上恒有解，求实数的取值范围.
21．已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：
条件①：的图象关于点对称；
条件②：的图象关于直线对称
（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，求的最大值和最小值，并指出相应的取值
注；如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由题意得，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，时取等号
所以的最小值为.
故选：C
2、D
【解析】如图，根据题意可得，利用三角函数的定义和诱导公式求出，进而得出结果.
【详解】如图，

由题意知，，
因为圆的半径，所以，
所以，
所以，
即点.
故选：D
3、B
【解析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m的方程，解得答案.
【详解】由向量，，且，
可得: ,
故选：B
4、B
【解析】.
故选B.
5、A
【解析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得的值
【详解】角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点.
由三角函数的定义有：.
故选：A
6、B
【解析】根据单调性依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，区间有增有减，故A错误，
对选项B，，令，，则，
因为，在为增函数，在为增函数，
所以在为增函数，故B正确.
对选项C，，，解得，
所以，为减函数，，为增函数，
故C错误.
对选项D，在为减函数，故D错误.
故选：B
7、D
【解析】对于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,对应l2也符合,
8、A
【解析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标
【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为（，），
代入欧拉线方程得：2＝0，
整理得：m﹣n+4＝0 ①
AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，
AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0
联立，解得
∴△ABC的外心为（﹣1，1）
则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，
整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②
联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4
当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去
∴顶点C的坐标是（﹣4，0）
故选A
【点睛】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法
9、C
【解析】根据题意，列方程，即可求解.
【详解】由题意可得，令，即，解得：t=4.
故选：C
10、D
【解析】先根据函数奇偶性排除AC，再结合特殊点的函数值排除B.
【详解】定义域，且，所以为奇函数，排除AC；又，排除B选项.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（0,3）
【解析】设点的坐标，利用，求解即可
【详解】解：点，，，
设，，，
，，解得，
点的坐标为，
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量相等的应用，属于基础题
12、##
【解析】根据分段函数的定义，化简后分别求每段上函数的最值，比较即可得出函数最大值.
【详解】当时，即或，
解得或，
此时，
当时，即时，
，
综上，当时，，
故答案为：
13、
【解析】设，则，求出的表达式，再由即可求解.
【详解】设，则，所以，
因为是定义在上的偶函数，所以，
所以当时，
故答案为：.
14、（3，0）
【解析】若函数是幂函数，则，
则函数（其中，），
令，计算得出：，，
其图象过定点的坐标为
15、
【解析】解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果.
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：
16、16
【解析】由题意易知：△和△为全等的等腰直角三角形，斜边长为，
，
故答案为16
点睛：平面向量数量积类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.本题就是利用几何意义处理的.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析； （2）； （3）.
【解析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值
【详解】（1）任意,,
因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数
（2）.
因为是“距”增函数，所以恒成立，
因为,所以在上恒成立，
所以，解得，因为,所以.
（3）因为，，且为“2距”增函数，
所以时，恒成立，
即时，恒成立，
所以，
当时，，即恒成立，
所以, 得;
当时，，
得恒成立，
所以,得,
综上所述，得.
又，
因为,所以，
当时，若，取最小值为；
当时，若，取最小值.
因为在R上是单调递增函数，
所以当，的最小值为；当时的最小值为，
即 .
【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题
18、（1）证明略
（2）
【解析】（Ⅰ）要证平面，由已知平面，已经有，因此在直角梯形中证明即可，通过计算得，而是中点，则有；（Ⅱ）PB与平面ABCD所成的角是，下面关键是作出PB与平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分别与相交于，连接，则是PB与平面PAE所成的角，由这两个角相等，可得，同样在直角梯形中可计算出，也即四棱锥P-ABCD的高，体积可得．另外也可建立空间直角坐标系，通过空间向量法求得结论，第（Ⅱ）小题中关键是求点的坐标，注意这里直线与平面所成的角相等转化为直线与平面的法向量的夹角相等
试题解析：解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，
是的中点，所以
所以
而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE
（Ⅱ）过点Ｂ作
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是为直线ＰＢ与平面PAE
所成的角，且
由知，为直线与平面所成的角
由题意，知
因为所以
由所以四边形是平行四边形，故于是
在中，所以

于是
又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系．设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为
所以而是平面内的两条相交直线，所以
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与
所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得
又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为
.
考点：线面垂直的判断，棱锥的体积
19、（1）
（2），
【解析】（1）根据角的终边经过点求，再由题意得周期求即可；
（2）根据正弦函数的单调性求单调区间即可.
【小问1详解】
因为角的终边经过点，
所以，
若时，的最小值为可知
，
∴
【小问2详解】
令，
解得
故单调递增区间为：，
20、（1）（2）
【解析】（1）利用奇偶性可得，求出，进行检验即可；
（2）关于的方程在区间上恒有解等价于，
即的取值范围是在区间上的值域.
【详解】（1）∵函数是上的奇函数.
∴，
∴，
当时，
显然
所以f（x）为奇函数，
故；
（2），即，
∴，即的取值范围是在区间上的值域，
令，则，
∴，，
，
又在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，
∴实数的取值范围.
【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的关系，考查等价转化思想与推理能力，属于中档题.
21、（1）；
（2）时，有最小值，时，有最大值2.
【解析】（1）若选①，根据周期求出，然后由并结合的范围求出，最后求出答案；若选②，根据周期求出，然后由并结合的范围求出，最后求出答案；
（2）结合（1），先求出的范围，然后结合正弦函数的性质求出答案.
【小问1详解】
若选①，由题意，，因为函数的图象关于点对称，所以，而，则，于是.
若选②，由题意，，因为函数的图象关于直线对称，所以，而，则，于是.
【小问2详解】
结合（1），因为，所以，则当时，有最小值为，当时，有最大值为.