2025年云南省迪庆州维西县第二中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025年云南省迪庆州维西县第二中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
3．若α＝－2，则α的终边在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4．的值等于
A. B.
C. D.
5．如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为.若一个扇形的圆心角为a，弧长为10，则该扇形的面积为（）

A. B.
C. D.

6．刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（）

A. B.
C. D.
7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有30人，则的值为

A.300 B.200
C.150 D.100
8．函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
9．已知函数=的图象恒过定点,则点的坐标是
A.( 1,5 ) B.( 1, 4)
C.( 0,4) D.( 4,0)
10．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是
A. B.
C D.，
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，，则________.
12．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为_________.
13．如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田，其中.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域试种新品种的西红柿，点E在边上，则该矩形区域的面积最大值为___________.

14．已知函数，使方程有4个不同的解：，则的取值范围是_________; 的取值范围是________.
15．的定义域为________________
16．若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在某单位的食堂中，食堂每天以元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂某天购进了80斤米粉，以（单位：斤）（其中）表示米粉的需求量，（单位：元）表示利润.
(Ⅰ)计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数；
(Ⅱ)将表示为的函数；
（Ⅲ）根据直方图估计该天食堂利润不少于760元的概率.

18．设a>0，且a≠1，解关于x的不等式
19．义域为的函数满足：对任意实数x,y均有，且，又当时，.
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
20．已知圆和定点,由圆外一动点向圆引切线,切点为,且满足.

(1)求证:动点在定直线上；
(2)求线段长的最小值并写出此时点的坐标.
21．已知函数，
（1）求函数的最大值；
（2）若，，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用诱导公式及正弦函数的单调性可判断的大小，利用正切函数的单调性可判断的范围，从而可得正确的选项.
【详解】，，
因为，故，
而，
因为，故，故，
综上，，
故选：A
2、C
【解析】详解】分析：求解出集合，得到，即可得到答案
详解：由题意集合，，
则，所以，故选C
点睛：本题考查了集合的混合运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力
3、C
【解析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.
【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限
故选：C.
4、C
【解析】因为，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出的值.
【详解】，
，
，故本题选C.
【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：
，
.
5、D
【解析】先求出，再由弧长公式求出扇形半径，代入扇形面积公式计算即可.
【详解】由图可知，，
则该扇形的半径，
故面积.
故选：D
6、B
【解析】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形；根据题意，可知个等腰三角形的面积和近似等于圆的面积，从而可求的近似值.
【详解】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，设圆的半径为，
则，即，所以.
故选：B.
7、D
【解析】根据频率分布直方图的面积和1,可得的频率为P=1-10(0.01+0.024+0.036)=0.3,又由,解得.选D.
8、C
【解析】由奇偶性定义判断的奇偶性，结合对数、余弦函数的性质判断趋向于0时的变化趋势，应用排除法即可得正确答案.
【详解】由且定义域，
所以为偶函数，排除B、D.
又在趋向于0时趋向负无穷，在趋向于0时趋向1，
所以在趋向于0时函数值趋向负无穷，排除A.
故选：C
9、A
【解析】令=，得x=1，此时y=5
所以函数=的图象恒过定点(1，5)．选A
点睛：
（1）求函数（且）的图象过的定点时，可令，求得的值，再求得，可得函数图象所过的定点为
（2）求函数（且）的图象过的定点时，可令，求得的值，再求得，可得函数图象所过的定点为
10、B
【解析】由偶函数在区间上单调递减，且，所以在区间上单调递增，且，即函数对应的图象如图所示，则不等式等价为或，解得或，故选B

考点：不等关系式的求解
【方法点晴】本题主要考查了与函数有关的不等式的求解，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象与性质、不等式的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解得中利用函数的奇偶性和单调性，正确作出函数的图象是解答的关键

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】，然后可算出的值，然后可得答案.
【详解】因为，，
所以，所以，
所以，，因为，所以，
故答案为：
12、
【解析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标.

【详解】
设直线的方程为，由，得，所以点，
由，得，所以点，从而，
如图，取的中点，连接，
因为为等边三角形，则，所以，，
则点，
因为点在函数的图象上，则，
解得，所以点的纵坐标为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于先由同一参数表示出点坐标，再代入求解；本题中，先设直线，分别求出，坐标，得到等边三角形的边长，由此用表示出点坐标，即可求解.
13、
【解析】设，求得矩形面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.
【详解】设，
，
，，
所以矩形的面积，
当且仅当时等号成立.
故选：
14、 ①. ②.
【解析】先画出分段函数的图像，依据图像得到之间的关系式以及之间的关系式，分别把和转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可.
【详解】做出函数的图像如下：

在单调递减：最小值0；在单调递增：最小值0，最大值2；
在上是部分余弦型曲线：最小值，最大值2.
若方程有4个不同的解：，则
不妨设四个解依次增大，则
是方程的解，则，即；
是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知.
故，
由得即

当时，单调递减，则
故答案为：①；②
15、
【解析】由分子根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0列式求解x的取值集合即可得到答案．
或x＞5．∴的定义域为
考点：函数的定义域及其求法．
16、
【解析】先讨论时不恒成立，再根据二次函数的图象开口方向、判别式进行求解.
【详解】当时，则化为（不恒成立，舍），
当时，要使对一切恒成立，
需，即，
即a的取值范围是.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 平均数为75.5，众数为75，中位数为75.
(2).
(3) 该天食堂利润不少于760元的概率为0.65.
【解析】由频率分布直方图的数值计算可得平均数，众数，中位数
由题意，当时，求出利润，当时，求出利润，由此能求出关于的函数解析式
设利润不少于元为事件，利润不少于元时，即，再根据直方图利用概率计算公式求出对应的概率
【详解】(Ⅰ)由频率分布直方图知

,故中位数位于（70.，80）设为x,则（x-70）
所以平均数为75.5，众数为75，中位数为75.
(Ⅱ)一斤米粉的售价是元.
当时，
当时，
故
（Ⅲ）设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.
解得，即.由直方图可知，当时，

故该天食堂利润不少于760元的概率为0.65.
【点睛】本题主要考查了样本估计总体和事件与概率，只要能读懂条形统计图，然后进行计算即可，较为基础
18、当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
【解析】对进行分类讨论，结合指数函数的单调性求得不等式的解集.
【详解】当时，在上递减，
所以，
即，解得，
即不等式的解集为.
当时，在上递增，
所以，
即，解得或，
即不等式的解集为.
19、 (1)答案见解析；(2)或.
【解析】(1)利用赋值法计算可得，设，则，
利用拆项：即可证得：当时，；
(2)结合(1)的结论可证得是增函数，据此脱去f符号，原问题转化为在上恒成立，分离参数有：恒成立，结合基本不等式的结论可得实数的取值范围是或.
试题解析：
(1)令，得，
令， 得，
令，得，
设，则，
因为,
所以;
(2)设，

  ,                       
因为所以，
所以为增函数,
所以,
 即,
上式等价于对任意恒成立，
因为，所以
上式等价于对任意恒成立，
设，（时取等），
所以，
解得或.
20、 (1) 见解析;(2).
【解析】（1）由,所以，从而得解；
（2）由,所以的最小值即为的最小值,过点O作直线的垂线求垂足即可.
【详解】(1)证明:设点的坐标为则由,∴
即动点在定直线上
(2)由,所以即为所以最小值时, 取到最小值.
又点在直线上,所以
此时直线的方程为,联立直线
解得点.
21、（1）3（2）
【解析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数性质作答即可.
（2）利用换元法求解即可.
【小问1详解】
函数

令解得
∴当，时，函数取到最大值3.
【小问2详解】
∵，∴
设，则