河南省郑州市外国语学校2025-2026学年高一数学第一学期期末预测试题含解析.doc

河南省郑州市外国语学校2025-2026学年高一数学第一学期期末预测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C.的最大值是 D.的最小值是
4．已知函数，则（　　）
A. B.
C. D.
5．将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数在上的最大值和最小值分别为
A. B.
C. D.
6．点关于直线的对称点是
A. B.
C. D.
7．设当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C.( D.
10．直线截圆所得的线段长为（）
A.2 B.
C.1 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数在一个周期内的图象如图所示，图中，，则___________.

12．已知是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则___________.
13．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，则球O的半径为________
14．如图，扇形的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角的弧度数为______

15．计算
16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时自变量x的集合,并求出最大值、最小值.
(1),;
(2),.
18．证明：函数是奇函数.
19．已知函数为奇函数.
（1）求实数的值，并用定义证明是上的增函数；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
20．设是定义在上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当时，
（）求的解析式
（）若在上为增函数求的取值范围
（）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
21．已知圆C经过点，两点，且圆心在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）已知、是过点且互相垂直的两条直线，且与C交于A，B两点，与C交于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】观察在上的图象，从而得到的取值范围.
【详解】解：观察在上的图象，
当时，或，
当时，，
∴的最小值为：，
的最大值为：，

∴的取值范围是
故选：B
【点睛】本题考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，考查数形结合思想，属基础题
2、D
【解析】由题意可得，由的范围可得的范围，再求其补集即可求解.
【详解】由可得，
因为，所以，
若命题“存在，使得等式成立”是假命题，
则实数 的取值范围是，
故选：D.
3、D
【解析】根据题意求出b的范围可以判断A，然后结合基本不等式判断B,C，最后消元通过二次函数的角度判断D.
【详解】对A，，正确；
对B，，当且仅当时取“=”，正确；
对C，，当且仅当时取“=”，正确；
对D，由题意，，由A可知，所以，错误.
故选：D.
4、A
【解析】由题中条件，推导出，，，由此能求出的值
【详解】解：函数，
，
，
，
，

故选A
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
5、A
【解析】先化简f（x）,再结合函数图象的伸缩变换，得到函数y＝g（x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，求出函数的最大值与最小值
【详解】∵函数，
∴g（x）
∵x∈
∴4x∈
∴当4x时，g（x）取最大值1；
当4x时，g（x）取最小值
故选A.
6、A
【解析】设对称点为，则，则，故选A.
7、D
【解析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：，并求出和，由条件和正弦函数的最值列出方程求出的表达式，由诱导公式求出的值
【详解】解：函数

（其中，
又时取得最大值，
，，即，，

，
故选：
8、D
【解析】是奇函数，单调递增，所以，得，
所以，所以，故选D
点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用．本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围
9、C
【解析】根据奇偶性求分段函数的解析式，然后作出函数图象，根据单调性解不等式即可.
【详解】因为当时，，且函数是定义在上的奇函数，
所以时，，
所以，作出函数图象：

所以函数是上的单调递增，
又因为不等式，所以，即，
故选：C.
10、C
【解析】先算出圆心到直线的距离，进而根据勾股定理求得答案.
【详解】圆，即圆心.圆心C到直线的距离，则直线截圆所得线段长为：.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据图象和已知信息求出的解析式，代值计算可得的值.
【详解】由已知可得，在处附近单调递增，且，故，
又因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，
所以，，可得，故，
因此，.
故答案为：.
12、##
【解析】根据函数的周期和奇偶性即可求得答案.
【详解】因为函数的周期为2的奇函数，所以.
故答案为：.
13、
【解析】根据直角三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边，结合球的对称性、勾股定理、直三棱柱的几何性质进行求解即可.
【详解】因为，所以三角形是以为斜边的直角三角形，
因此三角形的外接圆的直径为，圆心为.
因为，所以，
在直三棱柱中， 侧面是矩形且它的中心即为球心O，
球的直径是的长，则，
所以球的半径为
故答案为：

【点睛】本题考查了直三棱柱外接球问题，考查了直观想象能力和数学运算能力.
14、
【解析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，
因为扇形的面积是1，它的弧长是2，
由扇形的面积公式和弧长公式，可得，解得，.
故答案为2.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15、5
【解析】化简，故答案为.
16、
【解析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)有最大值、最小值.见解析(2)有最大值、最小值.见解析
【解析】（1）函数有最大最小值，使函数,取得最大值最小值的x的集合,就是使函数,取得最大值最小值的x的集合；（2）令,使函数,取得最大值的x的集合,就是使,取得最小值的z的集合，使函数,取得最小值的x的集合,就是使,取得最大值的z的集合.
【详解】解:容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数,取得最大值的x的集合,就是使函数,取得最大值的x的集合;
使函数,取得最小值的x的集合,就是使函数,取得最小值的x的集合.
函数,的最大值是;最小值是.
(2)令,使函数,取得最大值的x的集合,就是使,取得最小值的z的集合.
由,得.
所以,使函数,取得最大值3的x的集合是.
同理,使函数,取得最小值-3的x的集合是.
函数,的最大值是3,最小值是-3.
【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18、证明见解析
【解析】由奇偶性的定义证明即可得出结果.
【详解】中，，即，
的定义域为，关于原点对称，
,
，函数是奇函数.
19、（1），证明见解析；（2）.
【解析】（1）由函数奇偶性的性质，求得，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可是上的增函数；
（2）由函数为奇函数，且在上单调递增，把不等式转化为在上有解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，
令，可得，解得，
所以，此时满足，
所以函数是奇函数，所以.
任取，且，则，
因为，
即，所以是上的增函数.
（2）因为为奇函数，且的解集非空，
可得的解集非空，
又因为在上单调递增，所以的解集非空，
即在上有解，则满足，解得，
所以实数的取值范围.
.
20、（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】分析：（）当时，，；
当时，，从而可得结果；（）由题设知，对恒成立，即对恒成立，于是，，从而；（）因为为偶函数，故只需研究函数在的最大值，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，即可筛选出符合题意的正整数.
详解：（）当时，，
；
当时，，
∴，
（）由题设知，对恒成立，
即对恒成立，
于是，，
从而
（）因为为偶函数，故只需研究函数在的最大值
令，
计算得出
（）若，即，
，
故此时不存在符合题意的
（）若，即，
则在上为增函数，
于是
令，故
综上，存在满足题设
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数奇偶性的应用及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
21、（1）
（2）7
【解析】（1）根据题意，求出MN的中垂线的方程为，分析可得圆心为直线和的交点，联立直线的方程可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由圆的标准方程可得答案；
（2）根据题意，分2种情况讨论：，当直线，，其中一条直线斜率为0时，另一条斜率不存在，分析可得四边形APBQ的面积；，当直线，斜率均存在时，设直线的斜率为k，则方程的方程为，用k表示四边形APBQ的面积，由二次函数分析其最值，综合即可得答案
【小问1详解】
根据题意，点，，则线段MN的中垂线方程为，
圆心为直线和的交点，
则有，解得，所以圆C的圆心坐标为；
半径，
所以圆C的方程为.
【小问2详解】
根据题意，已知、是互相垂直的两条直线，分2种情况讨论：
，当直线，，其中一条直线斜率为0时．另一条斜率不存在
不妨令的斜率为0，此时，
四边形APBQ的面积
，当直线，斜率均存在时，设直线的斜率为
则其方程为，圆心到直线的距离为，
于是，
又的方程为
同理，
所以四边形APBQ的面积
，
当且仅当即时，等号成立
因为
综上所述，四边形APBQ面积的最大值为7