福建省三明市永安第三中学2025年数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

福建省三明市永安第三中学2025年数学高一第一学期期末综合测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数零点的个数为（）
A.4 B.3
C.2 D.0
2．给出下列四种说法：
① 若平面，直线，则；
② 若直线，直线，直线，则；
③ 若平面，直线，则；
④ 若直线，，则. 其中正确说法的个数为 (　）
A.个 B.个
C.个 D.个
3．已知函数的图象关于直线对称，则=
A. B.
C. D.
4．若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为
A. B.
C. D.
5．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，则
D.若，则
6．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（）
A. B.

C. D.
7．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为

A. B.
C. D.
8．在下列函数中，既是奇函数并且定义域为是（ ）
A. B.
C. D.
9．点直线中，被圆截得的最长弦所在的直线方程为（）
A. B.
C. D.
10．已知函数（，），若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数关于直线对称，设，则________.
12．已知函数的部分图象如图所示，则___________

13．已知则______________
14．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a＝_____.
15．已知函数若，则的值为______
16．已知单位向量与的夹角为,向量的夹角为 ,则cos=_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，是中点

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值
18．计算
（1）；
（2）.
19．已知
（1）若在第三象限，求的值
（2）求的值
20．已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）当时，求m的取值范围

21．已知函数，
1求的值；
2若，，求
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由，得，则将函数零点的个数转化为图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可
【详解】由，得，
所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，
函数的图象如图所示，

由图象可知两函数图象有4个交点，
所以有4个零点，
故选：A
2、D
【解析】根据线面关系举反例否定命题，根据面面平行定义证命题正确性.
【详解】若平面，直线，则可异面；
若直线，直线，直线，则可相交，此时平行两平面交线；
若直线，，则可相交，此时平行两平面交线；
若平面，直线，则无交点，即；选D.
【点睛】本题考查线面平行关系，考查空间想象能力以及简单推理能力.
3、C
【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以
，即，

因此，选C.
4、C
【解析】根据题意画出函数图像，由图像即可分析出由一个正零点，一个负零点a的范围
【详解】如图，若存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，
则，
故选

【点睛】本题考查了绝对值函数及零点的简单应用，属于基础题
5、B
【解析】利用不等式的性质逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若，，则，故，A错；
对于B选项，若，，则，所以，，
故，B对；
对于C选项，若，则，则，C错；
对于D选项，若，则，所以，，D错.
故选：B.
6、A
【解析】根据单调性结合偶函数性质，进行比较大小即可得解.
【详解】因为为偶函数，
所以
又在上为增函数，
所以，
所以
故选：A
7、D
【解析】取的中点，连接，，则（或补角）是与所成的角，利用勾股定理可求该角为直角.
【详解】
如图，取的中点，连接，，则，，
（或补角）是与所成的角，
，，
，，而，所以，.
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，此类问题一般需要通过平移构建平面角，再利用解三角形的方法求解.
8、C
【解析】分别判断每个函数的定义域和奇偶性即可.
【详解】对A，的定义域为，故A错误；
对B，是偶函数，故B错误；
对C，令，的定义域为，且，所以为奇函数，故C正确.
对D，的定义域为，故D错误.
故选：C.
9、A
【解析】要使得直线被圆截得的弦长最长，则直线必过圆心，利用斜率公式求得斜率，结合点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，
要使得直线被圆截得的弦长最长，则直线必过圆心，
可得直线的斜率为，所以直线的方程为，
即所求直线的方程为.
故选：A.
10、C
【解析】由已知得，，且，解之讨论k，可得选项.
【详解】因为的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B；
又，且，解得，
当时，不满足，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
当时，不满足，故C正确，D不正确，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于的不等式组，解之讨论可得选项.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】根据正弦及余弦函数的对称性的性质可得的对称轴为函数g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的对称中心，即可求值.
【详解】∵函数f（x）的图象关于x对称
∵f（x）＝3sin（ωx+φ）的对称轴为函数g（x＝3cos（ωx+φ）+1的对称中心
故有则1
故答案为1
【点睛】本题考查了正弦及余弦函数的性质属于基础题
12、
【解析】由图象可得最小正周期的值，进而可得，又函数图象过点，
利用即可求解.
【详解】解：由图可知，因为，所以，解得，
因为函数的图象过点，
所以，又，
所以，
故答案为：.
13、100
【解析】分析得出得解.
【详解】
∴

故答案为：100
【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键.
14、﹣8
【解析】根据AC的斜率等于AB的斜率得到，解方程即得解.
【详解】由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，
∴，解得a＝﹣8.
故答案为：-8
【点睛】本题主要考查斜率的计算和三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15、4
【解析】根据自变量所属的区间，代入相应段的解析式求值即可.
【详解】由题意可知，，解得，
故答案为：4
16、
【解析】根据题意，由向量的数量积计算公式可得•、||、||的值，结合向量夹角计算公式计算可
得答案
【详解】根据题意，单位向量，的夹角为，则•1×1×cos，
32，3，
则•（32）•（3）＝92+22﹣9•，
||2＝（32）2＝92+42﹣12•7，则||，
||2＝（3）2＝922﹣6•7，则||，
故cosβ.
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算和向量的夹角的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）.
【解析】（1）通过和得到 平面，利用等腰三角形的性质可得，可得结论；（2）过点作，垂足为，连接，证得是二面角的平面角，在中先求出，然后在中求出结论.
试题解析：(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面，
故.由条件，，∴平面.
又平面，∴.
由，，可得.
∵是的中点，∴.
又，综上得平面.
（2）过点作，垂足为，连接，
由（1）知，平面，在平面内的射影是，则
因此是二面角的平面角
由已知，可得．设，可得，，
，
在中，∵，∴，则 ，
在中，.
18、（1）2（2）
【解析】（1）根据对数计算公式，即可求得答案；
（2）将化简为，即可求得答案.
【小问1详解】

【小问2详解】

19、（1）；（2）-3.
【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的应用求出结果
直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的应用求出结果
【详解】由于
所以，
又在第三象限，
故：，，
则：
由于：，
所以：
【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式应用和诱导公式的应用，属于基础题
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用集合的交运算求即可.
（2）根据已知，由集合的交集结果可得，即可求m的取值范围
【小问1详解】
由题设，，而，
∴.
【小问2详解】
由，显然，
∴，可得.
21、 (Ⅰ) =1；(Ⅱ) =
【解析】（1）将代入可得：，在利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可；（2）因为，根据两角和的余弦公式需求出和，，，则，根据二倍角公式求出代入即可
试题解析：（1）因为，
所以；
（2）因为，，则
所以，
考点：1.诱导公式；2.二倍角公式；3.两角和余弦