福建省龙岩市武平县第二中学2026届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

福建省龙岩市武平县第二中学2026届数学高一上期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.
A.2寸 B.3寸
C.4寸 D.5寸
3．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：，）

A. B.
C. D.
4．已知函数，若关于x的方程有五个不同实根，则m的值是（）
A.0或 B.
C.0 D.不存在
5．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于

A. B.
C. D.
7．已知中，，，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）
A.，
B.，
C.，
D.，
9．已知是第三象限角，则是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第四象限角 D.第二或第四象限角
10．已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数定义域为，若满足① 在内是单调函数；存在使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数且 是“半保值函数”，则的取值范围为________
12．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则__________.
13．集合，则____________
14．命题“”的否定是___________.
15．函数在上的最小值为__________.
16．已知，则的最小值为___________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解关于的不等式.
18．已知平面直角坐标系内四点，，，.
（1）判断的形状；
（2）A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由.
19．如图，在正方体中，点分别是棱的中点．求证：

（1）平面；
（2）平面
20．已知数列的前n项和为
（1）求；

（2）若，求数列的前项的和
21．（1）已知，求最大值
（2）已知且，求的最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，可得答案
【详解】当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，等价于，即，
因为是定义在上的奇函数，
所以时，在上单调递增，且，所以等价于，即，
所以不等式的解集为
故选：D
2、B
【解析】根据题意可得平地降雨量，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
3、B
【解析】由题意有，可得，从而可得
【详解】由图1可得，又，
所以，所以，

所以，
该地的纬度约为北纬，
故选：
4、C
【解析】令，做出的图像，根据图像确定至多存在两个的值，使得与有五个交点时，的值或取值范围，进而转为求方程在的值或取值范围有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解.
【详解】做出图像如下图所示：
令，方程，
为，
当时，方程没有实数解，
当或时，方程有2个实数解，
当，方程有4个实数解，
当时，方程有3个解，
要使方程方程有五个实根，
则方程有一根为1，另一根为0或大于1，
当时，有或，
当时，，或，满足题意，
当时，，或，不合题意，
所以.
故选:C.

【点睛】本题考查复合方程的解，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，或直接用选项中的值代入验证，属于较难题.
5、C
【解析】利用分段函数的单调性列出不等式组，可得实数的取值范围
【详解】在上单调递增，则
解得
故选：C
【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查分段函数，端点值的取舍是本题的易错
6、B
【解析】取的中点，则由三角形的中位线的性质可得平行且等于的一半，故或其补角即为异面直线与所成的角．设正方体的棱长为1，则，，故为等边三角形，故∠EGH=60°
考点：空间几何体中异面直线所成角．
【思路点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想．取的中点，由三角形的中位线的性质可得或其补角即为异面直线与所成的角．判断为等边三角形，从而求得异面直线与所成的角的大小
7、D
【解析】如图所示，建立直角坐标系，则，，，．利用向量的坐标运算可得．再利用数量积运算，可得．利用数量积性质可得，可得．再利用，，可得，即可得出
【详解】如图所示，建立直角坐标系
则，，，
，，及四边形为矩形，

，

，

．即
点在直线上，
，
，，，
，即（当且仅当或时取等号），
综上可得：
故选：

【点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题
8、C
【解析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
9、D
【解析】因为是第三象限角，所以，
所以，
当为偶数时，是第二象限角，
当为奇数时，是第四象限角.
故选：D．
10、A
【解析】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A

考点：函数的零点

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据半保值函数的定义,将问题转化为与的图象有两个不同的交点，即有两个不同的根,换元后转化为二次方程的实根的分布可解得.
【详解】因为函数且是“半保值函数”，且定义域为，
由时，在上单调递增，在 单调递增，
可得为上的增函数；
同样当时，仍为上的增函数，
在其定义域内为增函数，
因为函数且是“半保值函数”，
所以与的图象有两个不同的交点，
所以有两个不同的根，
即有两个不同的根,
即有两个不同的根,
可令，，
即有有两个不同正数根，
可得，且，
解得.
【点睛】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“半保值函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化
12、0
【解析】根据题意，可知将函数的图象向右平移个单位长度后得到，由函数图象的平移得出的解析式，即可得出的结果.
【详解】解：由题意可知，将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
则，
所以.
故答案为：0.
13、
【解析】分别解出集合,，再根据并集的定义计算可得.
【详解】∵∴，
∵，∴，
则，
故答案为：
【点睛】本题考查指数不等式、对数不等式的解法，并集的运算，属于基础题.
14、，.
【解析】根据特称命题的否定的性质进行求解即可.
【详解】特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可，命题“，”的否定是“，”，
故答案为：，.

15、
【解析】正切函数在给定定义域内单调递增，
则函数的最小值为.
16、
【解析】根据基本不等式，结合代数式的恒等变形进行求解即可.
【详解】解：因为a>0，b>0，且4a+b=2，所以有：
，当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、答案见解析
【解析】不等式等价于，再分，和三种情况讨论解不等式.
【详解】原不等式可化为，即，
①当，即时，；
②当，即时，原不等式的解集为；
③当，即时，.
综上知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时原不等式的解集为.
18、（1）是等腰直角三角形（2）A，B，C，D四点共圆；理由见解析
【解析】（1）利用两点间距离公式可求得,再利用斜率公式可得到,即可判断三角形形状；
（2）由（1）先求得的外接圆,再判断点是否在圆上即可
【详解】解：
（1）,,
,
又,
,即,
∴是等腰直角三角形
（2）A，B，C，D四点共圆；
由（1）,设的外接圆的圆心为,
则,即,
解得,此时,
所以的外接圆的方程为,
将D点坐标代入方程得,即D点在的外接圆上.
∴A，B，C，D四点共圆
【点睛】本题考查两点间距离公式的应用,考查斜率公式的应用,考查三角形的外接圆,考查圆的方程,考查运算能力
19、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）易证得四边形为平行四边形，可知，由线面平行的判定可得结论；
（2）由正方形性质和线面垂直性质可证得，，由线面垂直的判定可得平面，由可得结论.
【小问1详解】
分别为的中点，，，
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
【小问2详解】
四边形为正方形，；
平面，平面，，
又，平面，

20、（1）；（2）.
【解析】（1）由条件求得数列是等差数列，由首项和公差求得.
（2）由（1）求得通项，代入求得，分组求和求得.
【详解】解：（1）因为，
所以是公差为2，首项为2的等差数列
所以
（2）由（1）可知，
因为，所以，
所以
21、（1）1；（2）2
【解析】（1）由基本不等式求出最小值后可得所求最大值
（2）凑出积为定值后由基本不等式求得最小值
【详解】（1），则，
，
当且仅当，即时等号成立．所以的最大值为1
（2）因为且，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．所以所求最小值为2