广东省中山纪念中学2026届数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

广东省中山纪念中学2026届数学高一上期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数，表示相同函数的是（
A.， B.，
C.， D.，
2．已知函数，那么（）
A.-2 B.-1
C. D.2
3．将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
4．已知，则函数与函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数若曲线与直线的交点中，相邻交点的距离的最小值为，则的最小正周期为
A. B.
C. D.
6．已知指数函数在上单调递增，则的值为（ ）
A.3 B.2
C. D.
7．已知函数，下面关于说法正确的个数是（）
①的图象关于原点对称②的图象关于y轴对称
③的值域为④在定义域上单调递减
A.1 B.2
C.3 D.4
8．已知在△ABC中，cos＝－，那么sin＋cosA＝(　　)
A. B.－
C. D.
9．函数有（ ）
A.最大值 B.最小值
C.最大值2 D.最小值2
10．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.都不对
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．下列命题中所有正确的序号是______________
①函数最小值为4；
②函数的定义域是，则函数的定义域为；
③若，则的取值范围是；
④若 (,)，则
12．已知表示不超过实数的最大整数，如，，为取整函数，是函数的零点，则__________
13．命题“，”的否定是______
14．幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是______
15．已知函数.若，则x的取值范围是___________.
16．已知奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．2009年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩120万元．现给出两种地价增长方式，其中是按直线上升的地价，是按对数增长的地价，t是2009年以来经过的年数，2009年对应的t值为0
（1）求，的解析式；
（2）2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．（参考数据：）
18．若函数在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”.
（1）函数是否有漂移点？请说明理由；
（2）证明函数在上有漂移点；
（3）若函数 在上有漂移点，求实数的取值范围.
19．已知向量= (3，2)，=(-1，2)，=(4，1)
（1）若= m+n，求m，n的值；
（2）若向量满足(-)(+)，|-|=2，求的坐标.
20．已知函数的图象关于原点对称，且当时，
（1）试求在R上的解析式；
（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
21．有一圆与直线相切于点，且经过点，求此圆的方程
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由两个函数相同的定义，定义域相同且对应法则相同，依次判断即可
【详解】选项A，一个为指数运算、一个为对数运算，对应法则不同，因此不为相同函数；
选项B，，为相同函数；
选项C，函数定义域为，函数定义域为，因此不为相同函数；
选项D，与函数对应法则不同，因此不为相同函数
故选：B
2、A
【解析】直接代入计算即可.
【详解】
故选：A.
3、A
【解析】由题意利用函数的图象变换法则，即可得出结论
【详解】将函数的图象向右平移个的单位长度，可得的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为，故选
【点睛】本题主要考查函数的图象变换法则，注意对的影响
4、B
【解析】
条件化为，然后由的图象 确定范围，再确定是否相符
【详解】，即.
∵函数为指数函数且的定义域为，函数为对数函数且的定义域为，A中，没有函数的定义域为，∴A错误；B中，由图象知指数函数单调递增，即，单调递增，即，可能为1，∴B正确；C中，由图象知指数函数单调递减，即，单调递增，即，不可能为1，∴C错误；D中，由图象知指数函数单调递增，即，单调递减，即，不可能为1，∴D错误
故选：B.
【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，确定这两个的图象与性质是解题关键．
5、D
【解析】将函数化简，根据曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，建立关系，可得ω的值，即得f（x）的最小正周期
【详解】解：函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R
化简可得：f（x）sin（ωx）
∵曲线y＝f（x）与直线y＝1的相交，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，
∴（）+2kπ＝ω（x2﹣x1），
令k＝0，
∴x2﹣x1，
解得：ω
∴y＝f（x）的最小正周期T，
故选D
【点睛】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
6、B
【解析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案
【详解】解得，
又函数在上单调递增，则，
故选：B
7、B
【解析】根据函数的奇偶性定义判断为奇函数可得对称性，化简解析式，根据指数函数的性质可得单调性和值域.
【详解】因为的定义域为，
，即函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，即①正确，②不正确；
因为，
由于单调递减，所以单调递增，故④错误；
因为，所以，，
即函数的值域为，故③正确，即正确的个数为2个，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：理解函数的奇偶性和常见函数单调性简单的判断方式.
8、B
【解析】因为cos＝－，即cos＝－，所以sin＝－，则sin＋cosA＝sinAcos＋cosAsin＋cosA＝sin＝－.故选B.
9、D
【解析】分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D
10、B
【解析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积
【详解】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：
故选：

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、③④
【解析】利用基本不等式可判断①正误；利用抽象函数的定义域可判断②的正误；解对数不等式可判断③；构造函数，函数在上单调递减结合，求得可判断④.
详解】对于①，当时，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立，
所以，函数，的最小值不是，①错误；
对于②，若函数的定义域为，则有，解得，即函数的定义域为，②错误；
对于③，若，所以当时，解得：，不满足；当时，解得：，所以的取值范围是，③正确；
对于④，令，函数在上单调递减，由得，则，即，故④正确.
故答案为：③④.
12、2
【解析】由于，所以，故.
【点睛】本题主要考查对新定义概念的理解，考查利用二分法判断函数零点的大概位置.首先研究函数，令无法求解出对应的零点，考虑用二分法来判断，即计算，则零点在区间上.再结合取整函数的定义，可求出的值.
13、.
【解析】全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可知原命题的否定.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，
所以原命题的否定：.
故答案为：.
14、
【解析】根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式
【详解】设f（x）=xα，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴4α=2
∴α=
这个函数解析式为
故答案为
【点睛】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程解法等知识，属于基础题
15、
【解析】结合函数的定义域求出的范围，分，以及三种情况进行讨论即可.
【详解】因为的定义域为，所以，即，
当时，，不合题意，
当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，方程无解；
当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，即，则符合；
所以x的取值范围是.
故答案为：.
16、
【解析】根据奇函数的性质得，再根据对数函数性质得，进而结合函数单调性比较大小即可.
【详解】解：因为函数为奇函数，
所以，
由于函数在单调递增，
所以，
由于，
所以
因为函数在上是增函数，
所以，即
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；，
（2）分析比较见解析；应该选择模型
【解析】（1）由，求得；由，求得；
（2）分别由，，，算出直线和对数增长的增长率与10%比较即可.
【小问1详解】
解：由题知：，，
所以，解得：，
所以，；
又，，
所以，
解得：，
所以，；
【小问2详解】
若按照模型，到2025年时，，，
直线上升的增长率为，不符合要求；
若按照模型，到2025年时，，
，
对数增长的增长率为，符合要求；
综上分析，应该选择模型
18、（1）没有，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】(1)根据给定定义列方程求解判断作答.
(2)根据给定定义构造函数，由零点存在性定理判断函数的零点情况即可作答.
(3)根据给定定义列方程，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论计算作答.
【小问1详解】
假设函数有“漂移点”，则，此方程无实根，
所以函数没有漂移点.
【小问2详解】
令，，则，
有，即有，而函数在单调递增，因此，在上有一个实根，
所以函数在上有漂移点.
小问3详解】
依题意，设在上的漂移点为，则，
即，亦即，整理得：，
由已知可得，令，，则在上有零点，
当时，的图象的对称轴为，而，则，
即，整理得，解得，则，
当时，，0，则不成立，
当时，，在上单调递增，
又，则恒大于0，因此，在上没有零点.
综上得，.
【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数的图象及其性质，利用数形结合的方法解决问题.
19、（1）；（2）=(2，-3)或=(6，5).
【解析】（1）利用向量线性坐标运算即可求解.
（2）根据向量共线的坐标表示以及向量模的坐标表示列方程组即可求解.
【详解】解：（1）若=m +n，则(4，1)==m(3，2)+n(-1，2)
即所以
（2）设=(x，y)，则-=(x-4，y-1)，+=(2，4)
(-)(+)， |-|=2
\
解得或
所以=(2，-3)或=(6，5)
20、（1）
（2）函数图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为；
【解析】（1）依题意是上的奇函数，即可得到，再设，根据时的解析式及奇函数的性质计算可得；
（2）由（1）中的解析式画出函数图形，结合图象得到函数的单调区间；
【小问1详解】
解：的图象关于原点对称，
是奇函数，
又的定义域为，，解得
设，则，
当时，，

，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）可得的图象如下所示：

由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；
21、x2＋y2－10x－9y＋39＝0
【解析】法一:设出圆的方程,代入B点坐标,计算参数,即可.法二:设出圆的方程，结合题意，建立方程，计算参数，即可．法三：设出圆的一般方程，代入A,B坐标，建立方程，计算参数，即可．法四：计算CA直线方程，计算BP方程，计算点P坐标，计算半径和圆心坐标，建立圆方程，即可
【详解】法一：由题意可设所求的方程为，
又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，
所以所求圆的方程为.
法二：设圆的方程为，
则圆心为，由，,
，解得，
所以所求圆的方程为.
法三：设圆的方程为，由，，在圆上，
得，解得，
所以所求圆的方程为.
法四：设圆心为，则，又设与圆的另一交点为，
则的方程为，
即.
又因为，
所以，所以直线的方程为.
解方程组，得，所以
所以圆心为的中点，半径为.
所以所求圆的方程为.
【点睛】考查了圆方程的计算方法，关键在于结合题意建立方程组，计算参数，即可，难度中等