2026届广东省惠州市第一中学数学高一第一学期期末经典试题含解析.doc

2026届广东省惠州市第一中学数学高一第一学期期末经典试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．定义：对于一个定义域为的函数，若存在两条距离为的直线和，使得时，恒有，则称在内有一个宽度为的通道．下列函数：
①；②；
③；④.
其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为
A.①② B.②③
C.②④ D.②③④
2．函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（）

A.2， B.2，
C.4， D.4，
3．甲：“x是第一象限的角”，乙：“是增函数”，则甲是乙的（）
A充分但不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4．将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是
A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”
B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”
C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”
D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”
5．若函数在区间上单调递减，则实数满足的条件是
A. B.
C. D.
6．同时掷两枚骰子，所得点数之和为的概率为
A. B.
C. D.
7．函数的零点所在的区间为（ ）
A.(，1) B.(1，2)
C. D.
8．函数的零点所在区间是　　
A. B.
C. D.
9．已知，则（）
A. B.
C. D.
10．已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，则无论取何值，图象恒过的定点坐标______；若在上单调递减，则实数的取值范围是______
12．若函数与函数的最小正周期相同，则实数______
13．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.
①为幂函数；②为偶函数；③在上单调递减.
14．在中，，则_____________
15．设集合，，则______
16．函数（其中，，）的图象如图所示，则函数的解析式为__________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，
（1）当时，求函数的值域；
（2）若恒成立，求实数的取值范围
18．已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）求的值.
19．若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”
（1）若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；
（2）设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．）
20．（1）求的值；
（2）求的值
21．已知函数的图象经过点
（1）求的解析式；
（2）若不等式对恒成立，求m的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】②③可由作图所得，④作图可知有一个宽度为1的通道，由定义可知比1大的通道都存在.
2、B
【解析】根据图象的两个点、的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，代入数值得到结果
【详解】解：由图象可得：，
∴，
∴，
又由函数的图象经过，
∴，
∴，
即，
又由，则
故选：B
【点睛】本题考查由部分图象确定函数的解析式，属于基础题
关键点点睛：本题解题的关键是利用代入点的坐标求出初相.
3、D
【解析】由正弦函数的单调性结合充分必要条件的定义判定得解
【详解】由x是第一象限的角，不能得到是增函数；
反之，由是增函数，x也不一定是第一象限角
故甲是乙的既不充分又不必要条件
故选D
【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题
4、C
【解析】对于 ，事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于，事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件； 但中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选C.
5A
【解析】因为函数在区间上单调递减，所以时，恒成立，即 ，故选A.
6、A
【解析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有4种结果，根据概率公式得到结果.
【详解】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4种结果，根据古典概型概率公式得到P=.
【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和满足条件的事件发生的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体
7、D
【解析】为定义域内的单调递增函数，计算选项中各个变量的函数值，判断在正负，即可求出零点所在区间.
【详解】解：在上为单调递增函数，
又，

所以的零点所在的区间为.
故选：D.
8、C
【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可
【详解】∵，，
∴，
∴函数在区间(2,3)上存在零点
故选C
【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件
9、C
【解析】先对两边平方，构造齐次式进而求出或，再用正切的二倍角公式即可求解.
【详解】解：对两边平方得
，
进一步整理可得，
解得或，
于是
故选：C
【点睛】本题考查同角三角函数关系和正切的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.
10、B
【解析】根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案.
【详解】函数为对称轴开口向上的二次函数，
在区间上是单调增函数，
区间在对称轴的右面，即，
实数的取值范围为.
故选B.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】计算的值，可得出定点坐标；分析可知，对任意的，，利用参变量分离法可求得，分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.
【详解】因为，故函数图象恒过的定点坐标为；
由题意可知，对任意的，，则，
因为函数在上单调递增，且当时，，
所以，.
当时，在上为减函数，函数为增函数，
所以，函数、在上均为减函数，
此时，函数在上为减函数，合乎题意；
当且时，，不合乎题意；
当时，在上为增函数，函数为增函数，
函数、在上均为增函数，
此时，函数在上为增函数，不合乎题意.
综上所述，若在上单调递减，.
故答案为：；.
12、
【解析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值
【详解】：函数的周期是；
函数的最小正周期是：；
因为周期相同，所以，解得
故答案为
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力
13、（或，，答案不唯一）
【解析】结合幂函数的图象与性质可得
【详解】由幂函数，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此，或，等等
故答案为：（或，，答案不唯一）
14、
【解析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值
【详解】由，结合正弦定理可得，
故设，，()，由余弦定理可得，
故.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题
15、
【解析】联立方程组，求出交点坐标，即可得到答案
【详解解方程组，得或.
故答案为：
16、
【解析】如图可知函数的最大值
，
当时，代入，，

当时，代入，，
解得
则函数的解析式为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）采用换元，令，当时，把函数转化为二次函数，即可求出答案.
（2）采用换元，令，即 在恒成立，即可求出答案.
【小问1详解】
函数，
令，当时，
，的值域为.
【小问2详解】
，恒成立，
只需： 在恒成立；
令：
则得.
18、（1）（2）
【解析】
（1）由奇函数定义求；

（2）代入后结合对数恒等式计算．
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以恒成立，
可得.
（2）由（1）可得.
所以.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查对数恒等式，属于基础题．
19、（1），；
（2）存在；，.
【解析】（1）由已知条件可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式；
（2）由偶函数的定义可得出，由函数的值域结合基本不等式以及对数函数的单调性可求得的值，进而可求得的值，即可得解.
【小问1详解】
解：因为为、的“函数”，
所以①，所以
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以②
联立①②解得，
【小问2详解】
解：假设存在实数、，使得为，的函数”
则
①因为是偶函数，所以
即，即，
因为，整理得
因为对恒成立，所
②，
因为，当且仅当，即时取等号
所以，
由于的值域为，所以，且
又因为，所以，
综上，存在，满足要求
20、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数幂的运算性质，化简计算，即可得答案.
（2）根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案.
【详解】（1）原式；
（2）原式
21、 (1) ,(2)
【解析】（1）直接代入两点计算得到答案.
（2）变换得到，判断在上单调递减，计算，解不等式得到答案.
【详解】（1）由题意得解得，．故，
（2）不等式，即不等式，
则不等式在上恒成立，
即不等式上恒成立，
即在上恒成立
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
故．因为在上恒成立，
所以，即，
解得
故m的取值范围为
【点睛】本题考查了函数的解析式，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键.