河南名校联盟2025-2026学年数学高一第一学期期末考试试题含解析.doc

河南名校联盟2025-2026学年数学高一第一学期期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C.或 D.或
3．函数（且）的图像必经过点（）
A. B.
C. D.
4．表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是
A. B.
C. D.
5．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
6．棱长分别为1、、2的长方体的8个顶点都在球的表面上，则球的体积为
A. B.
C. D.
7．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则
A. B.
C. D.
8．已知，且，则
A. B.
C. D.
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（）

A. B.
C. D.
10．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．定义域为上的函数满足，且当时，，若，则a的取值范围是______
12．已知向量，且，则_______.
13．已知函数满足，当时，，若不等式的解集是集合的子集，则a的取值范围是______
14．若实数x，y满足，且，则的最小值为___________.
15．已知，，，则的最大值为___________.
16．函数零点的个数为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于的方程有两个相等的实数根.
（1）的值域；
（2若函数且在上有最小值，最大值，求的值.
18．刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：
套餐
月租
本地话费
长途话费
套餐甲
12元
0.3元/分钟
0.6元/分钟
套餐乙
无
0.5元/分钟
0.8元/分钟
刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）
（1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数；
19．计算下列各式：
（1）（式中字母均为正数）；
（2）.
20．计算下列各式的值：
（1）
（2）
21．已知函数，，.
（1）若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，求a；
（2）若，求证：.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由对数函数的性质及分式的性质解不等式即可得解.
【详解】由题意得，解得，
所以 的定义域为.
故选：C.
【点睛】本题考查了具体函数定义域的求解，属于基础题.
2、A
【解析】由不等式的解集为,可得的根为，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可.
【详解】的解集为,则
的根为，即，，
解得，
则不等式可化为，即为，
解得或，
故选：A.
3、D
【解析】根据指数函数的性质，求出其过的定点
【详解】解：∵（且），且
令得，则函数图象必过点，
故选：D
4、A
【解析】根据正方体的表面积，可求得正方体的棱长，进而求得体对角线的长度；由体对角线为外接球的直径，即可求得外接球的表面积
【详解】设正方体的棱长为a
因为表面积为24，即
得a = 2
正方体的体对角线长度为
所以正方体的外接球半径为
所以球的表面积为
所以选A
【点睛】本题考查了立体几何中空间结构体的外接球表面积求法，属于基础题
5、C
【解析】由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
6、A
【解析】球的直径为长方体的体对角线，又体对角线的长度为，故体积为，选A.
7、B
【解析】分析：直接利用余弦定理求cosA.
详解：由余弦定理得cosA=故答案为B.
点睛：(1)本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对余弦定理的掌握水平.(2)已知三边一般利用余弦定理：.
8、A
【解析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得的值
【详解】解：∵tan（α），则tanα，
∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），
可得 sinα
∴
2sinα＝2（）
故选A
点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题
9、D
【解析】由线性运算的加法法则即可求解.
【详解】如图，设交于点，则.

故选：D
10、C
【解析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围
【详解】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，
则当x∈[2，+∞）时，
x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数
即，f（2）=4+a＞0
解得﹣4＜a≤4
故选C
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据，可得函数图象关于直线对称，当时，，可设，根据，即可求解；
【详解】解：，的函数图象关于直线对称，
函数关于y轴对称，
当时，，
那么时，，
可得，
由，
得

解得：；
故答案为.
【点睛】本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，属于中档题.
12、2
【解析】由题意可得解得.
【名师点睛】（1）向量平行：，,.
（2）向量垂直：.
（3）向量的运算：.
13、
【解析】先由已知条件判断出函数的单调性，再把不等式转化为整式不等式，再利用子集的要求即可求得a的取值范围.
【详解】由可知，关于对称，
又，当时，单调递减，
故不等式等价于，即，
因为不等式解集是集合的子集，
所以，解得
故答案为：
14、8
【解析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.
【详解】由得：，又实数x，y满足，
则，当且仅当，即时取“=”，
由解得：，
所以当时，取最小值8.
故答案为：8
【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
15、
【解析】由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：，当时取等，
所以，
故令，则，
所以，
当时，等号成立.
所以的最大值为
故答案为：
16、2
【解析】将函数的零点的个数转化为与的图象的交点个数，在同一直角坐标系中画出图象即可得答案.
【详解】解：令这，
则函数的零点的个数即为与的图象的交点个数，
如图：

由图象可知，与的图象的交点个数为2个，
即函数的零点的个数为2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查函数零点个数问题，可转化为函数图象交点个数，考查学生的作图能力和转化能力，是基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】（1）由题意可得且，从而可求出的值，则得，然后求出的值域，进而可求出的值域，
（2）函数，设，则，然后分和两种情况求的最值，列方程可求出的值
【小问1详解】
根据题意，二次函数的图象关于直线对称，
则有，即①
又由方程即有两个相等的实数根，则有，②
联立①②可得：，，则，
则有，则，
即函数的值域为；
【小问2详解】
根据题意，函数，
设，则，
当时，，则有，而，
若函数在上有最小值，最大值，
则有，解可得，即，
当时，，则有，而，
若函数在上有最小值，最大值，
则有，解可得，即，
综合可得：或
18、（1），；
（2）答案见解析.
【解析】（1）由题可知他每月接打本地电话时间为，接打长途，结合条件即得；
（2）利用作差法，然后分类讨论即得.
【小问1详解】
因为刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍，
所以他每月接打本地电话时间为，接打长途

若选择套餐甲，则月租12元，本地话费，长途话费，
则；
若选择套餐乙，则月租0元，本地话费，长途话费，
则
【小问2详解】
∵，
当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱；
当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱；
当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据给定条件利用指数运算法则化简作答.
（2）根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算性质计算作答.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据指数的运算性质进行求解即可；
（2）根据对数的运算性质进行求解即可.
【小问1详解】

【小问2详解】

21、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据题意，分析可得，变形解可得答案；
（2）根据题意，设，结合二次函数的性质分析可得，当时，恒成立，即可得结论
【小问1详解】
根据题意，若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，
则，变形可得或，
解可得；无解；
故；
【小问2详解】
证明：设，
当时，，其对称轴为，又由，则其对称轴，
又由，在区间，上为增函数，
则，
当时，，开口向上，

当时，，必有恒成立，
综合可得：当是，恒成立，即恒成立