新疆库车县乌尊镇中学2025年高一数学第一学期期末监测试题含解析.doc

新疆库车县乌尊镇中学2025年高一数学第一学期期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（ ）
A.5 B.10
C.15 D.20
2．已知，则的值为（）
A. B.
C.1 D.2
3．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间上零点的个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）
A.－1面ABC所成的角为时，三棱锥的体积为（ ）

A. B.
C. D.
7．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是
A. B.
C. D.
8．函数，对任意的非零实数，关于的方程的解集不可能是
A B.
C. D.
9．函数的部分图象如图所示，则可能是（ ）

A. B.
C. D.
10．的值是
A.0 B.
C. D.1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数的图象过点，则___________.
12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.

13．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为____ .
14．已知定义在上的偶函数在上递减，且，则不等式的解集为__________
15．已知，且，则=_______________.
16．计算：________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点.

（1）求证：PB//平面AEC；
（2）求D到平面AEC的距离.
18．在中，已知为线段的中点，顶点，的坐标分别为，.
（Ⅰ）求线段的垂直平分线方程；

（Ⅱ）若顶点的坐标为，求垂心的坐标.
19．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求函数的解析式，判断并证明函数的单调性；
（2）若存在实数，使成立，求实数的取值范围.
20．已知
（1）求的最小正周期；
（2）将的图像上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位，得到函数的图像，求在上的单调区间和最值.
21．如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片的腰长为3，正方形纸片的边长为1，其中B、C、D三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a个单位，.设两张纸片重叠部分的面积为S.

（1）求关于a的函数解析式；
（2）若，求a的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】依据题意列出不等式即可解得V的最小值.
【详解】由，解得
则V的最小值为10.
故选：B
2、A
【解析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.
【详解】由已知使用诱导公式化简得：，
将代入即.
故选：A.
3、A
【解析】将函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，再数形结合得解.
【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，
由可知，当时，函数是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，

数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数有两个不同的零点.
故选：A.
4、C
【解析】根据函数的周期性、偶函数的性质，结合零点的定义进行求解即可.
【详解】因为，所以函数的周期为，
当时，，即，
因为函数是偶函数且周期为，
所以有，
所以在区间上零点的个数为，
故选：C
5、C
【解析】根据新定义把不等式转化为一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得结论
【详解】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得，
故选:C.
6、C
【解析】取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，可以证明平面、平面，求出的面积后利用公式求出三棱锥的体积.
【详解】
取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为.
因为为等腰直角三角形，故，同理，
而，故平面，
而平面，故平面平面，
因为平面平面，平面，
故平面，故为直线BD和平面ABC所成的角，
所以.
在等腰直角形中，因为，，故，
同理，故为等边三角形，故.
故.
故选：C.
【点睛】思路点睛：线面角的构造，往往需要根据面面垂直来构建线面垂直，而后者来自线线垂直，注意对称的图形蕴含着垂直关系，另外三棱锥体积的计算，需选择合适的顶点和底面.
7、D
【解析】是奇函数，故 ；又是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
8、D
【解析】由题意得函数图象的对称轴为
设方程的解为，则必有，
由图象可得是平行于x轴的直线，它们与函数的图象必有交点，
由函数图象的对称性得的两个解要关于直线对称，故可得；
同理方程的两个解也要关于直线对称，同理
从而可得若关于的方程有一个正根，则方程有两个不同的实数根；
若关于的方程有两个正根，则方程有四个不同的实数根
综合以上情况可得，关于的方程的解集不可能是．选D
非选择题
9、A
【解析】先根据函数图象，求出和，进而求出，代入特殊点坐标，求出，，得到正确答案.
【详解】由图象可知：，且，所以，不妨设：，将代入得：，即，，解得：，，当时，，故A正确，其他选项均不合要求.
故选：A
10、B
【解析】利用诱导公式和和差角公式直接求解.
【详解】
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##0.25
【解析】设，代入点求解即可.
【详解】设幂函数，
因为的图象过点，
所以，
解得
所以，得
.
故答案为：
12、
【解析】该几何体是一个半圆柱，如图，其体积为.

考点：几何体的体积.
13、
【解析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得的范围
【详解】解：函数在上单调递增，
函数在上单调递增，且，
，解得，即，
故答案：
14、
【解析】因为，而为偶函数，故，故原不等式等价于，也就是，所以即，填
点睛：对于偶函数，有．解题时注意利用这个性质把未知区间的性质问题转化为已知区间上的性质问题去处理
15、
【解析】由同角三角函数关系求出，最后利用求解即可.
【详解】由，且得
则，
则.
故答案为：.
16、
【解析】由,利用正弦的和角公式求解即可
【详解】原式,
故答案为:
【点睛】本题考查正弦的和角公式的应用,考查三角函数的化简问题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连接交于，连接，则可得，再由E是PD的中点，则可利用三角形中位线定理可得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由已知条件可证明，都为直角三角形，所以可求出，从而可求出的面积，然后利用等体积法可求出D到平面AEC的距离.
【小问1详解】
连接交于，连接，
因为四边形为平行四边形，

所以，
因为点E是PD的中点，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
【小问2详解】
因为∥，，
所以，，
因为平面，平面，
所以，
因为，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
在直角中，，
同理，
在等腰中，,
取的中点，连接，则∥，，
因平面，所以平面，，
设D到平面AEC的距离为，
由，得
,
所以，得，
所以D到平面AEC距离为

18、 (Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（1）根据中点坐标公式求中点坐标，根据斜率公式求斜率，最后根据点斜式求方程（2）根据垂心为高线的交点，先根据点斜式求两条高线方程，再解方程组求交点坐标，即得垂心的坐标.
试题解析：（Ⅰ）∵的中点是，直线的斜率是-3，线段中垂线的斜率是，故线段的垂直平分线方程是，即；
（Ⅱ）∵，∴边上的高所在线斜率∵
∴边上高所在直线的方程：，即
同理∴边上的高所在直线的方程:
联立和，得：，∴的垂心为
19、（1），函数在上单调递减，证明见解析（2）
【解析】（1）由为奇函数且定义域为R,则,即可求得,进而得到解析式；设,代入解析式中证得即可；
（2）由奇函数,可将问题转化为,再利用单调性可得存在实数,使成立,即为存在实数,使成立,进而求解即可
【详解】解：
（1）为奇函数且定义域为R,
所以,即,所以,
所以,
所以函数在R上单调递减,
设,则

,
因为,所以,即,
所以,
所以,即,
所以函数在上单调递减.
（2）存在实数,使成立.
由题,则存在实数，使成立,
因为为奇函数,所以成立,
又因为函数在R上单调递减,
所以存在实数,使成立,
即存在实数,使成立,
而当时,,
所以的取值范围是
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解析式,考查定义法证明函数单调性,考查已知函数单调性求参数问题,考查转化思想和运算能力
20、 (1)；(2)答案见解析.
【解析】(1)整理函数的解析式可得，结合最小正周期公式可得其的最小正周期为；
(2)由题意可得，结合函数的定义域可得函数的单调增区间为：，单调减区间为：，最大值为：，最小值为：.
试题解析：
（1） 

,             
所以最小正周期为;
(2)由已知有,
因为,
所以,
当,即时,g(x)单调递增,
当即时,g(x)单调递减,
所以g(x)的增区间为，减区间为,
所以在上最大值为，最小值为.
21、（1）；
（2）或.
【解析】（1）讨论、、分别求对应的，进而写出函数解析式的分段形式.
（2）根据（1）所得解析式，将代入求a值即可.
【小问1详解】
如下图，延长到上的，又，则，
∴，

当时，；
当时，；
当时，.
综上，.
小问2详解】
由（1）知：在上，；
在上，，整理得，解得（舍）或.
综上，或时，.