2026届河南省郑州市郑州领航实验学校数学高一第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2026届河南省郑州市郑州领航实验学校数学高一第一学期期末学业质量监测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.3
2．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：，）

A. B.
C. D.
3．函数图象一定过点
A.( 0,1） B.（1,0）
C.（0,3） D.（3,0）
4．设，则下列不等式一定成立的是（）
A B.
C. D.
5．半径为3 cm的圆中，有一条弧，长度为 cm，则此弧所对的圆心角为()
A. B.
C. D.
6．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知，则的值为（）
A.－4 B.4
C.－8 D.8
8．已知向量，，则在方向上的投影为
A. B.8
C. D.
9．已知，若，则x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知是定义在R上的奇函数，在区间上为增函数，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________.
12．若关于的不等式的解集为，则实数__________
13．若函数在上单调递增，则a的取值范围为______
14．已知函数
（1）当时，求的值域；
（2）若，且，求的值；
15．的定义域为_________;若，则_____
16．在平面四边形中，，若，则__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.

（1）求的值；
（2）若点的横坐标为，求的值.
18．已知.
（1）化简，并求的值；
2）若，求的值
19．已知直线和点，设过点且与平行的直线为.
（1）求直线的方程；
（2）求点关于直线的对称点
20．已知有半径为1，圆心角为a（其中a为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.
方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；
方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧MN的中点.

（1）按照方案1裁剪，设∠NOC = ，用表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为；
（2按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.
21．已知函数
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】解：根据题意，，故，
故函数与的图像如图，

由于函数与的图像只有一个交点，
所以方程有且只有一个实数根，
所以函数的零点个数为1个.
故选：B
2、B
【解析】由题意有，可得，从而可得
【详解】由图1可得，又，
所以，所以，

所以，
该地的纬度约为北纬，
故选：
3、C
【解析】根据过定点，可得函数过定点.
【详解】因为在函数中，
当时，恒有 ,
函数的图象一定经过点，故选C.
【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.
4、D
【解析】对ABC举反例判断即可；对D，根据函数的单调性判断即可
【详解】对于A，，，选项A错误；
对于B，，时，，不存在，选项B错误；
对于C，由指数函数的单调性可知，选项C错误；
对于D，由不等式性质可得，选项D正确
故选：D
5、A
【解析】利用弧长公式计算即可
【详解】，
故选：A
6、B
【解析】可知分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可
【详解】可知函数在R上单调递增，
所以；
对称轴，即；
临界点处，即；
综上所述：
故选：B
7、C
【解析】由已知条件，结合同角正余弦的三角关系可得，再将目标式由切化弦即可求值.
【详解】由题意知：，即，
∴，而.
故选：C.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，应用了以及切弦互化求值，属于基础题.
8、D
【解析】依题意有投影为.
9、C
【解析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式.
【详解】函数的定义域需满足，解得：，
并且在区间上，函数单调递增，且，
所以，
即，解得：或.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.
10、C
【解析】由奇函数知，再结合单调性及得，解不等式即可.
【详解】由题意知：，又在区间上为增函数，当时，，
当时，，由可得，解得.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用同角的基本关系式，可得，代入所求，结合辅助角公式，即可求解
【详解】因为，，所以，
所以，故答案为
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题
12、
【解析】先由不等式的解得到对应方程的根，再利用韦达定理，结合解得参数a即可.
【详解】关于的不等式的解集为，
则方程的两根为，则，
则由，得，即，
故.
故答案为：.
13、
【解析】根据函数的单调性得到，计算得到答案.
【详解】函数在上单调递增，则
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.
14、（1）
（2）
【解析】（1）化简函数解析式为，再利用余弦函数的性质求函数的值域即可；
（2）由已知得，利用同角之间的关系求得，再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.
【小问1详解】

，，
利用余弦函数的性质知，则
【小问2详解】
，
又，，
则
则
15、 ①.； ②.3.
【解析】空一：根据正切型函数的定义域进行求解即可；
空二：根据两角和的正切公式进行求解即可.
【详解】空一：由函数解析式可知：，
所以该函数的定义域为：；
空二：因为，
所以.
故答案为：；
16、##1.5
【解析】设，在中，可知，在中，可得，由正弦定理，可得答案.
【详解】
设，在中，，，
，
在中，，，
，
由正弦定理得：，
得，
.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件可得，再利用诱导公式化简计算作答.
(2)由给定条件求出，再利用和角公式、倍角公式计算作答.
【小问1详解】
依题意，，所以.
【小问2详解】
因点的横坐标为，而点在第一象限，则点，即有，
于是得，，
，，
所以.
18、（1），
（2）
【解析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；
（2）利用将变形为，继而变形为，代入求值即可.
小问1详解】

则

【小问2详解】
由（1）知，
则

19、（1）x+2y-3=0（2）B（2，-2）
【解析】（1）根据两直线平行则斜率相同，再将点代入即可求出直线的方程；（2）设出所求点的坐标，可表示出中点的坐标,再根据点关于直线的对称性质可得方程组，即可求出对称点的坐标.
试题解析：（1）设, 点代入
∴:
（2）设，则，的中点
∴
∴
∴
20、（1），证明见解析；
（2），方案1可以裁剪出面积最大的矩形.
【解析】（1）分别用含有的三角函数表示，写出矩形的面积，利用三角函数求最值；
（2）利用（1）的结论，根据对称性知，矩形的最大面积为，然后利用作差法比较大小即可
【小问1详解】
在图1中，，，，，
，
，
当时，矩形最大面积为，得证.
【小问2详解】
在图（2）中，设与边，分别交于点，，

由（1）的结论，可得矩形的最大面积为，
根据对称性知，矩形的最大面积为.
因为为锐角，所以，于是.
因此，.
故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为.
21、（1）
（2）函数在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】（1）利用奇函数的定义可得的值；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）根据的奇偶性和单调性可得的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，
因为为奇函数，所以，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
函数在上单调递减.
下面用单调性定义证明：
任取，且，则

因为在上单调递增，且，所以，
又，所以，
所以函数在上单调递减.
【小问3详解】
因为为奇函数，所以，
由得
，
即，
由（2）可知,函数在上单调递减，
所以，
即，解得或，
所以的取值范围为.