安徽省淮北地区2026届高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

安徽省淮北地区2026届高二数学第一学期期末统考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题,命题,，则下列命题中为真命题的是
A B.
C. D.
2．已知函数，那么的值为（）
A. B.
C. D.
3．若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
4．圆与的公共弦长为（）
A. B.
C. D.
5．已知椭圆方程为，则该椭圆的焦距为（ ）
A.1 B.2
C. D.
6．函数单调减区间是（）
A. B.
C.和 D.
7．某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（ ）
A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的标准差；
C.，，，…，的中位数； D.，，…，的众数；
8．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第人得钱数为（ ）
A.钱 B.钱
C.钱 D.钱
9．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（ ）

A.当时，平面 B.当时，平面
C.当为直角三角形时， D.当的面积最小时，
10．若任取，则x与y差的绝对值不小于1的概率为（）
A. B.
C. D.
11．过双曲线（，）的左焦点作圆：的两条切线，切点分别为，，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
12．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数在区间上的最大值是，则__________
14．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______
15．已知为坐标原点，、分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于、的动点，直线、与轴分别交于点、两点，则________
16．从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选不同选法的种数为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，，求的长.
18．（12分）已知两条直线，.设为实数，分别根据下列条件求的值.
（1）；
（2）直线在轴、轴上截距之和等于.
19．（12分）已知动圆过点，且与直线：相切
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度
20．（12分）设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.
21．（12分）已知是公比不为1的等比数列，，且为的等差中项.
（1）求的公比；
（2）求的通项公式及前n项和.
22．（10分）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，满足.
（1）求A；
（2）若，求面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】命题是假命题，命题是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.
【详解】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.
【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：
（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；
（3）：真假相反.
2、D
【解析】直接求导，代入计算即可.
【详解】，故.
故选：D.
3、B
【解析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.
【详解】因为，
所以数列是等差数列，公差为1，
所以.
故选：B
4、D
【解析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.
【详解】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
5、B
【解析】根据椭圆中之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.
【详解】由椭圆的标准方程可知：，则焦距为，
故选：B.
6、B
【解析】根据函数求导，然后由求解.
【详解】因为函数，
所以，
由，解得，
所以函数的单调递减区间是，
故选：B
7、B
【解析】根据平均数、标准差、中位数及众数的概念即得.
【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.
故选：B.
8、A
【解析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值.
【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列，
设数列、、、、公差为，
则，解得，故.
故选：A.
9、D
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；
【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以
对于A：若平面，则，则解得，故A错误；
对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；
当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；
设到的距离为，则，
当的面积最小时，，故正确
故选：

10、C
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中分析以及与差的绝对值不小于1所对应的平面区域，求出其面积，由几何概型公式计算可得答案.
【详解】根据题意，，其对应的区域为正方形，其面积，
若与差的绝对值不小于1，即，即或，对应的区域为图中的阴影部分，其面积为，

故与差的绝对值不小于1的概率.
故选：C
11、C
【解析】根据，，可以得到，从而得到与的关系式，再由，，的关系，进而可求双曲线的渐近线方程
【详解】解：由，，
则
是圆的切线，，
，，所以，
因为双曲线的渐近线方程为，即为

故选：C
12、D
【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、0
【解析】由函数，又由，则，根据二次函数的性质，即可求解函数的最大值，得到答案.
【详解】由函数，
因为，所以，
当时，则，所以.
【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，以及二次函数的图象与性质，其中解答中根据余弦函数，转化为关于的二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
14、
【解析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.
【详解】函数，
表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，
点关于轴的对称点，
所以，
所以的最小值为：.
故答案为：.
15、3
【解析】求得坐标，设出点坐标，求得直线的方程，由此求得两点的纵坐标，进而求得.
【详解】依题意，
设，则，
直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
所以.
故答案为：
16、49
【解析】丙没有入选，相当于从9个人中选3人，分为两种情况：甲乙两人只有一人入选；甲乙两人都入选，分别求出每种情况的选法数，再利用分类加法计数原理即可得解.
【详解】丙没有入选，把丙去掉，相当于从9个人中选3人，
甲、乙至少有1人入选，分为两种情况：甲乙两人只有一人入选；甲乙两人都入选.
甲乙两人只有一人入选，选法有种；
甲乙两人都入选，选法有种.
所以，满足题意的选法共有种.
故答案为：49.
【点睛】本题考查组合的应用，其中涉及到分类加法计数原理，属于中档题.一些常见类型的排列组合问题的解法：
（1）特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
（2）分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏；
（3）间接法（排除法），从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法；
（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列；
（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空；
（6）去序法或倍缩法；
（7）插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有；
（8）分组、分配法：有等分、不等分、部分等分之别.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理化边为角后，结合两角和的正弦公式、诱导公式可求得；
（2）用表示出，然后平方由数量积的运算求得向量的模（线段长度）
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即，
因为，所以，，
∵，故；
（2）由，得，
所以，
所以.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）由两直线平行可得出关于的等式，求出的值，再代入两直线方程，验证两直线是否平行，由此可得出结果；
（2）分析可知，求出直线在轴、轴上的截距，结合已知条件可得出关于的等式，即可解得的值.
【小问1详解】
解：由，则，即，解得或.
当时，，，此时；
当时，此时重合，不合乎题意.
综上所述，；
【小问2详解】
解：对于直线，由已知可得，则，
令，得；令，得.
因为直线在轴、轴上截距之和等于，即，解得.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意分析圆心符合抛物线定义，然后求轨迹方程；
（2）直接联立方程组，求出弦长.
【详解】解：（1）圆过点，且与直线相切
点到直线的距离等于
由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，
依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是
（2）依题意可知直线，设
联立，得，则，
所以，线段的长度为
【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
20、（1）；
（2）过定点，坐标为.
【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆离心率为，
所以有.
椭圆过点，所以，由可解：
，所以该椭圆方程为：；
【小问2详解】
由（1）可知：，
设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，
当时，
直线的方程与椭圆方程联立得：，
设， ，
，
因为，所以，把代入得：
，
所以有或，
解得：或
当时，直线，直线恒过定点，
此时与点重合，不符合题意，
当时，，直线恒过点，
当直线不存在斜率时，此时， ，因为，所以
，两点不在椭圆上，不符合题意，
综上所述：过C，D两点的直线过定点，定点坐标为.
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
21、（1）
（2），
【解析】（1）设数列公比为，根据列出方程，即可求解；
（2）：由（1）得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设数列公比为，
因为为的等差中项，可得，即，
即，解得或（舍去），
所以等比数列的公比为.
【小问2详解】
解：由（1）知且，可得，
所以.
22、（1）
（2）
【解析】（1）由正弦定理得，再由范围可得答案；
（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面积公式可得答案.
【小问1详解】
∵，由正弦定理得，
又，所以，又，则；
【小问2详解】
由余弦定理得，即，
所以，当且仅当，取“=”，
所以面积的最大值为