2025年北京市西城区外国语学校高一上数学期末复习检测试题含解析.doc

2025年北京市西城区外国语学校高一上数学期末复习检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的单调递减区间为（）
A. B.
C. D.
2．下列等式中，正确的是（）
A. B.
C. D
3．若条件p：，q：，则p是q成立的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
4．下列函数中既是奇函数又在定义域上是单调递增函数的是（）
A. B.
C. D.
5．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于（     ）
A. B.
C. D.
6．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知在△ABC中，cos＝－，那么sin＋cosA＝(　　)
A. B.－
C. D.
8．已知角终边上一点，则　　
A. B.
C. D.
9．已知为锐角，为钝角，，则（）
A. B.
C. D.
10．函数的图象大致形状为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若使得，且的最小值为，则_________.
12．若“”是“”的必要条件，则的取值范围是________
13．设函数不等于0，若，则________.
14．设函数（e为自然对数的底数，a为常数），若为偶函数，则实数______；若对，恒成立，则实数a的取值范围是______
15．计算：sin150°＝_____
16．_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，.
（1）求的值；
（2）设函数.
(i)证明函数的图象关于点对称；
(ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
18．已知函数
（1）若，求不等式的解集；
（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.
19．已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数
（Ⅰ）求实数值；
（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由
20．已知函数定义域是，.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数，求函数的最小值
21．已知函数.
（1）若点在角的终边上，求的值；
（2）若，求的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】解不等式，，即可得答案.
【详解】解：函数，
由，，得，，
所以函数的单调递减区间为，
故选：A.
2、D
【解析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；
对于B，，错误；
对于C，，错误；
对于D，，正确.
故选：D.
3、B
【解析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性
【详解】由不能推出，例如，
但必有，
所以p是q成立的必要不充分条件.
故选：B.
4、D
【解析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得正确.
【详解】对A，∵是奇函数，在(一∞，0)和(0，+∞)上是单调递增函数，在定义域上不是递增函数，可知A错误；
对B，不是奇函数，可知B错误；
对C，不是单调递增函数，可知C错误；
对D，，则为奇函数；当时，单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增，根据奇函数对称性，可知在上单调递增，则D正确.
故选：D
5、C
【解析】根据圆心角可以得出弧长与半径的关系，根据面积公式可得出弧长
【详解】由题意可得，
所以
【点睛】本题考查扇形的面积公式、弧长公式，属于基础题
6、B
【解析】根据给定条件求出函数的值域，由在此值域内解不等式即可作答.
【详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是，
因存在实数，使得，则，
因此，，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
7、B
【解析】因为cos＝－，即cos＝－，所以sin＝－，则sin＋cosA＝sinAcos＋cosAsin＋cosA＝sin＝－.故选B.
8、C
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值
【详解】∵角终边上一点，
∴，，，则，故选C
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题
9、C
【解析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案.
【详解】因为为锐角，为钝角，，
所以，
，
则
.
故选：C.
10、A
【解析】首先判断函数的奇偶性，再利用上的函数值的正负即可判断；
【详解】解：因为，定义域为，且
所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除、；
又当时，，，所以，则，所以，所以，即可排除C；
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据三角函数的图形变换，求得，根据，不妨设，求得，，得到
则，根据题意得到，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
又由，不妨设，
由，解得，即，
又由，解得，
即
则，
因为的最小值为，可得，解得或，
因为，所以.
故答案为：
12、
【解析】根据题意解得：，得出，由此可得出实数的取值范围.
【详解】根据题意解得：，
由于“”是“”必要条件，则，.
因此，实数的取值范围是：.
故答案为：.
13、
【解析】令，易证为奇函数，根据，可得，再根据，由此即可求出结果.
【详解】函数的定义域为，令，
则，即，所以为奇函数；
又，所以，
所以.
故答案为:.
14、 ①.1 ②.
【解析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值
【详解】由，即，关于恒成立，故
恒成立，等价于恒成立
令，，，故a的取值范围是
故答案为：1，
15、
【解析】利用诱导公式直接化简计算即可得出答案.
【详解】sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.
故答案为：
【点睛】本题考查了诱导公式的应用,属于基础题.
16、
【解析】利用指数与对数的运算性质，进行计算即可
【详解】.
【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，需要注意，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）(i)证明见解析；(ii).
【解析】(1)根据题意∵为奇函数，∴，令x＝1即可求出；
(2)(i)验证为奇函数即可；
(ii))求出在区间上的值域为A，记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论f(x)的值域B，分，，三种情况讨论即可.
【小问1详解】
∵为奇函数，
∴，得，
则令，得.
【小问2详解】
(i)，
∵为奇函数，∴为奇函数，
∴函数的图象关于点对称.
(ii)在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为，
由对，总，使得成立知，
①当时，上单调递增，由对称性知，在上单调递增，∴在上单调递增，
只需即可，得，∴满足题意；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
∴或，
当时，，，
∴满足题意；
③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减，
只需即可，得，∴满足题意.
综上所述，的取值范围为.
18、（1）；（2）.
【解析】(1)把代入函数解析式，求解关于的一元二次不等式，进一步求解指数不等式得答案；
(2)不等式恒成立，等价于恒成立，求出时的范围，可得，即可求出的取值范围
【详解】解：（1）当时，
即：
，
则不等式的解集为
（2）∵

由条件：∴∴恒成立
∵
即的取值范围是
【点睛】解不等式的常见类型：
(1)一一二次不等式用因式分解法或图像法；
(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；
(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性
19、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上递增，证明详见解析；（Ⅲ）不存在.
【解析】（Ⅰ）根据函数是偶函数，得到恒成立，即恒成立，进而得到，即可求出结果；
（Ⅱ）任取，且，根据题意，作差得到，进而可得出函数单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，由函数是偶函数，所以函数在上递减，再由题意，不等式恒成立可化为恒成立，即对任意的恒成立，根据判别式小于0，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）因为定义域为的函数是偶函数，则恒成立，
即，故恒成立，
因为不可能恒为，所以当时， 恒成立，
而，所以
（Ⅱ）该函数在上递增，证明如下
设任意，且，则
，因为，所以，且；
所以，即，即；
故函数在上递增
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，而函数是偶函数，则函数在上递减．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．则恒成立，即，
即对任意的恒成立，
则，得到，故，
所以不存在
【点睛】本主要考查由函数奇偶性求参数，用单调性的定义判断函数单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.
20、（1）（2）
【解析】（1）由定义域，求得的定义域即为所求；（2）求函数的值域，再代入求最值
【详解】（1）的定义域是，即的定义域是，所以的定义域为；
（2），令，，，
即，所以，当时取到
【点睛】求函数值域要先准确求出函数的定义域，注意函数解析式有意义的条件，及题目对自变量的限制条件，复合函数相关问题要注意整体代换思想
21、（1）；（2）.
【解析】（1）先根据三角函数定义求得，，再求的值即可；
（2）根据题意得，再结合三角函数的性质即可求得答案.
【详解】解：（1）因为点在角的终边上，
所以，，
所以
.
（2）令，
因为，所以，
而在上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以函数在上的最大值为1，最小值为，
即，
所以的值域是.
【点睛】本题考查三角函数的定义，整体换元法求函数的值域，考查运算能力，是中档题.