宜宾市重点中学2026届高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

宜宾市重点中学2026届高一数学第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角为第四象限角，则点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2．已知，，，则大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）
A若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
4．下列函数中，以为最小正周期且在区间上为增函数的函数是（ ）
A. B.
C. D.
5．满足的角的集合为（）
A. B.
C. D.
6．函数的零点所在的一个区间是
A. B.
C. D.
7． “ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．设，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
10．四名学生按任意次序站成一排，若不相邻的概率是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______
12．设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则三棱锥的体积是______
13．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________.

14．已知函数在区间上恰有个最大值，则的取值范围是_____
15．______________
16．已知集合，，则=____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．—条光线从点发出，经轴反射后，经过点，求入射光线和反射光线所在的直线方程.
18．已知函数，函数.
（1）填空：函数的增区间为___________
（2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数在上的最大值为？如果存在，求出实数所有的值.如果不存在，说明理由.
19．设函数
（1）若是偶函数，求k的值
（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围；
（3）设函数若在有零点，求实数的取值范围
20．已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
21．（1）若是的根，求的值
（2）若，，且，，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据三角函数的定义判断、的符号，即可判断.
【详解】因为是第四象限角，所以，，则点位于第三象限，
故选：C
2、B
【解析】分别判断与0,1等的大小关系判断即可.
【详解】因为.故.又,故.又,故.所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性判断函数值大小的问题,属于基础题.
3、D
【解析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项.
【详解】A.若，则或异面，故A不正确；
B.缺少垂直于交线这个条件，不能推出，故B不正确；
C.由垂直关系可知，或相交，或是异面，故C不正确；
D.因，所以平面内存在直线，若，则，且，所以，故D正确.
故选：D
4、B
【解析】对四个选项依次判断最小正周期及单调区间,即可判断.
【详解】对于A, ,最小正周期为,单调递增区间为,即,在内不单调,所以A错误;
对于B, 的最小正周期为,单调递增区间为,即,在内单调递增,所以B正确;
对于C, 的最小正周期为,所以C错误;
对于D, 的最小正周期为,所以D错误.
综上可知,正确的为B
故选:B
【点睛】本题考查了函数的最小正周期及单调区间的判断,根据函数性质判断即可,属于基础题.
5、D
【解析】利用正弦函数的图像性质即可求解.
【详解】.
故选：D.
6、B
【解析】根据函数的解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数，可得，
即，根据零点的存在定理，可得函数的零点所在的一个区间是.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中熟记函数零点的存在定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7、A
【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用，充分条件和必要条件的应用判断A、B、C、D的结论
【详解】解：当“ω＝2”时，“函数f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期为π”
当函数f（x）＝sin（ωx﹣）的最小正周期为π”，故ω＝±2，
故“ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的充分不必要条件；
故选：A
8、D
【解析】分别取特殊值验证充分性和必要性不满足，即可得到答案.
【详解】充分性：取，满足“”，但是“”不成立，即充分性不满足；
必要性：取，满足“”，但是“”不成立，即必要性不满足；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
9、B
【解析】根据正弦、余弦、正切函数的周期性和单调性逐一判断即可得出答案.
【详解】解：对于A，函数的最小正周期为，不符合题意；
对于B，函数的最小正周期为，且在区间上单调递减，符合题意；
对于C，函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，不符合题意；
对于D，函数的最小正周期为，不符合题意.
故选：B.
10、B
【解析】利用捆绑法求出相邻的概率即可求解.
【详解】四名学生按任意次序站成一排共有，
相邻的站法有，
相邻的的概率，
故不相邻的概率是.
故选：B
【点睛】本题考查了排列数以及捆绑法在排列中的应用，同时考查了古典概型的概率计算公式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.
令，则，所以方程变为：.
则，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：
12、
【解析】根据锥体的体积公式，找到并求出三棱锥的高及底面面积即可求解.
【详解】由题意可知该三棱锥为棱长为2的正方体的一个角，如图所示：

所以
故答案为：
【点睛】本题考查锥体体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
13、
【解析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围
【详解】由题意可知，的定义域为R，
因为，所以为奇函数.
因为，且在R上为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数.
又，所以，
所以，解得.
故答案为：.
14、
【解析】将代入函数解析式，求出的取值范围，根据正弦取8次最大值，求出的取值范围
【详解】因为，，所以，又函数在区间上恰有个最大值，所以，得
【点睛】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现，由的取值范围推断的取值范围
15、
【解析】利用指数的运算法则和对数的运算法则即求.
【详解】原式.
故答案为：.
16、{-1,1,2}；
【解析】=={-1,1,2}

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，
反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0
【解析】如图所示，作A点关于x轴的对称点A′，显然，A′坐标为(3，－2)，连接A′B，则A′B所在直线即为反射光线

由两点式可得直线A′B的方程为，即2x＋y－4＝0.
同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，
由两点式可得直线AB′的方程为，即2x－y－4＝0，
∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，
反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.
考点：两点式直线方程，对称问题.
18、（1）（写出开区间亦可）；（2）；（3）.
【解析】（1）根据单调性的定义结合奇偶性可得解；
（2）令，问题转化为“”为真命题，根据基本不等式找函数的最小值即可；
（3）当时，，记，若函数在上的最大值为，分和，结合对数函数的单调性列式求解即可.
【详解】（1）函数的增区间为（写出开区间亦可）；
理由：，为偶函数，
任取，，
所以的增区间为.
（2），
令，当且仅当时取“”，
“”为真命题可转化为“”为真命题，
因为，当且仅当时取“”，
所以，
所以；
（3）由（1）可知，当时，，记，
若函数在上的最大值为，则
1）当，即时，在上最小值为1，
因为图象的对称轴为，所以，
解得，符合题意；
2）当，即时，在上最大值为1，且恒成立，
因为图象是开口向上的抛物线，在的最大值可能是或，
若，则，不符合题意，
若，则，
此时对称轴，由，不合题意0.
综上所述，只有符合条件.
【点睛】本题主要考查了对数型、指数型的复合函数的单调性及最值问题。解题的关键是换元，将复杂的函数化为简单的函数，解决对数型的复合函数时要注意真数大于0这个隐含条件，属于难题.
19、（1），（2），（3）
【解析】（1）由偶函数的定义可得，，列方程可求出的值；
（2）由，可得 ，分离出 ，换元后利用二次函数的性质求解即可；
（3）结合已知条件，代入可求，然后结合在有零点，利用换元法，结二次函数的性质求解.
【详解】解：（1）因为是偶函数，所以，
即，
，解得；
（2）由，可得，
则，
即存在，使成立，
令，则，
因为，所以，
令，则对称轴为直线，
所以在单调递增，
所以时，取得最大值，即，
所以，即实数m的取值范围为；
（3），则，
所以，
设，当时，函数为增函数，则，
若在上有零点，
即在上有解，
即，，
因为函数在为增函数，
所以，
所以取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查二次函数性质的应用，解题的关键是将转化为，然后利用换元法结合二次函数的性质求解即可，考查数学转化思想，属于中档题
20、 (1)[0,2]；(2)(－∞，)；(3)答案见解析.
【解析】（1）由h(x)＝－2(log3x－1)2＋2，根据log3x∈[0,2]，即可得值域；
（2）由，令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，得(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，利用二次函数求函数的最小值即可；
（3）由，假设最大值为0，因为,则有，求解即可.
试题解析：
（1）h(x)＝(4－2log3x)·log3x＝－2(log3x－1)2＋2，
因为x∈[1,9]，所以log3x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2].
（2）由，
得(3－4log3x)(3－log3x)>k，
令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，
令，其对称轴为，
所以当时，的最小值为，
综上，实数k的取值范围为(－∞，)．.
（3）假设存在实数，使得函数的最大值为0，
由.
因为,则有，解得，所以不存在实数，
使得函数的最大值为0.
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .
21、（1）；（2）
【解析】（1）先求出，再通过诱导公式及切化弦化简原式后再代值即可；
（2）通过角的范围及已知的三角函数值求出和，再运用正弦的两角差的公式计算即可.
【详解】（1）方程解得或，因为为其解，所以.
则原式

由于，
所以原式.
（2）因为，所以，
又因为，所以，
因为，，可得，
又，可得，
而
.